高中数学探究性学习案例一则（程贤清）

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1、高中数学探究性学习案例一则438200湖北省浠水县实验高中程贤清新课程倡导数学探究性学习，其主要目的是，为学生引入一种新的学习方式，使学生经历提出概念或结论的过程，体验数学发现、创造的研究过程，形成勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现问题，提出问题和解决问题的能力以及学生创新意识、创新精神和实践能力．实施数学探究性学习除了可以选择一些课题，采用课题研究的方式开展外，更应当结合学科教学，从现有的教学内容，教学要求和学生的实际出发，选择适当的切入口，引导学生开展研究．本文以圆维曲线复习中的一道选择题为例，提供一则案例，以作引玉之砖．这则案例起点不高，几乎每位学生都能参与研究，在研究的过程中不断

2、提出问题，将研究引向深入，使不同层次的学生都能有所得，通过研究，学生可以体会如何提出问题，又如何解决问题，这对于改变学生就事论事地解题习惯无疑会有很大的帮助和启发．1　　问题呈现激发探究问题经过椭圆的右焦点F任作弦AB，过A作椭圆右准线的垂线AM，垂足为M，则直线BM必经过点、B、C、D、师：本题有哪些可能的解决途径？选择自己擅长的一种（或数种）解法详细书写出来．解决该题（该类型题）用到什么方法？把题目的条件或结论变化一下又会如何？能否类比到更广泛地范围？请大胆提出自己的猜想，并进行研究．2　　自主探究合作研讨师：请同学们先自我探究求解，稍后再进入到小组相互研讨，此时教师巡视，对部分需要给予

3、帮助的学生适当指导，并适时深入到小组中参与讨论．3　　分析交流思维碰撞师：现在请同学们将自己（或自己小组）的研究成果进行交流展示，并对在交流中随时发现的新问题作进一步地思考，大胆举手发言．生1：我是用特殊化的思想解决的．取AB轴，由已知得F（1，0）6将代入椭圆方程得，不妨设点B在轴下方，得，又右准线，得，所以直线BM的方程为，此直线过点，故选B。师：好！根据问题特点，考虑极端位置，选取特殊直线求得结果，这种从特殊到一般的方法，是人们认识事物的普遍规律．（注：生1在班上数学属中差生，故意让他先回答，是让这类学生享受到探究的成功与乐趣，激发他们探究的信心和勇气）生2：假如此题是一填空题或解答题

4、，仅由特殊化还不行，还得寻求一般性解法．生3：我的解法是在生1的基础上由椭圆的对称性及特殊化思想先猜出直线BM恒过定点，再就一般情形证明．（证明过程在幻灯片展台上投影）．当直线AB斜率为零时，直线AB和BM均为x轴，此时直线BM显然过点，当直线AB斜率不为零时，设直线AB的方程为代入中整理得，记N，设，则M，，于是从而B、N、M三点共线，即直线BM过定点N师：先猜后证，猜证结合，思维严谨，计算准确．生4：我的解法与生3类似，与其不同的是直线AB的方程由点斜式设出．师：好，请你把详细解答整理出来，到时我们在班级数学园地上“发表”．生5：对一般条件下的椭圆，是否有类似的结果?6生6：我们小组经过

5、探讨得到了椭圆的一个一般性质：定理1：“经过椭圆的右焦点F任作弦AB，过A作椭圆的右准线的垂线AM，垂足为M，则直线直线BM必过定点，其中”．证明过程如下：（幻灯片展台投影）不妨设点Ａ在轴上方，记当直线轴时，易验证直线BM过点N当直线AB不与轴垂直时，设直线AB的方程为代入并整理得设，则M，且上面分式的分子所以，，即B、M、N三点共线故直线BM必过定点综上，命题成立．师：很好，看，我们自己也能发现定理！6生7：我们小组对定理1探究出了另外一种证法——定比分点法（证明过程在幻灯片展台上投影）当AB轴时，易知结论成立；当AB不与轴垂直时，设，直线BM与x轴交于点，则M记，则由A、F、B共线及定比

6、分点公式知①又由M、N、B共线且AM//FN知所以②又由焦半径公式得③由①③得整理得：④④代入②得故直线过定点师：联想丰富，方法新颖，推证严密，很棒！生8:我们小组经过类比探究发现，对双曲线和抛物线也均有类似于定理1的结论，并且还有更简单的平几比例证法6定理2：“经过双曲线的右焦点F作弦AB，过A作双曲线右准线的垂线，垂足为M，则直线BM必过定点N，其中”定理3：“经过抛物线的焦点F作弦AB，过A作抛物线准线的垂线，垂足为M，则直线BM必过坐标原点”．证明过程如下：（幻灯片展台投影）因篇幅所限，这里仅提供定理2的平几比例证法，定理1、3仿此可证。设BM交x轴于点，双曲线右准线交x轴于Q，过B

7、作BP右准线，垂足为P。记则，（为双曲线离心率）由AM//FQ//BP得所以即故直线BM必过定点师：定义开路，数形结合，过程简捷，统揽全局，直捣本质，妙哉！妙哉！（学生大笑，并报以热烈地掌声）4反思总结交流感悟师1:下面请同学们就今天的学习进行反思，谈谈自己的感悟（请四位学生进行交流）师2:今天，我们不只是解决了一个问题，学会了几种方法，更为重要的是经历了一次数学研究的过程，了解了一些进行数学探究的方法，如根