《角平分线的性质》课件1

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1、角平分线的性质本课内容本节内容1.4角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角.探究如图1-26，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗？图1-26你能证明吗？将∠AOB沿OC对折，我发现PD与PE重合，即PD与PE相等.图1-26∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∵∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，OP=OP，∴△PDO≌△PEO.∴PD=PE.我们来证明这个结论.图1-26结论角的平分线上的点到角的两边的距离相等.由此得到角平分线

2、的性质定理：动脑筋角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？如图1-27，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E.若PD=PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗？图1-27在Rt△PDO和Rt△PEO中，∵OP=OP，PD=PE，∴Rt△PDO≌Rt△PEO.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.如图1-27，过点O，P作射线OC.∴∠AOC=∠BOC.∴OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.图1-27结论角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.由此得到角平分线的性质定理的逆定理：举例例1如图1-

3、28，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.(1)求证：点B在∠ADC的平分线上；(2)求证：BD是∠ABC的平分线.图1-28证明：在△ABC中，∵∠1=∠2，∴BA=BC.又BA⊥AD，BC⊥CD，∴点B在∠ADC的平分线上.图1-28(1)求证：点B在∠ADC的平分线上；图1-28证明：在Rt△BAD和Rt△BCD中，∵BA=BC，BD=BD，∴Rt△BAD≌Rt△BCD.∴∠ABD=∠CBD.∴BD是∠ABC的平分线.(2)求证：BD是∠ABC的平分线.解作∠AOB的角平分线，交MN于一点，则这点即为所求作的点P.(提示：用尺规作图)练习如图，在直线MN上求作一点

4、P，使点P到∠AOB两边的距离相等.P2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD=CD.求证：AB=AC.证明∵点D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.∴AB=AC.在Rt△BED和Rt△CFD中，∵BD=CD，DE=DF，∴Rt△BED≌Rt△CFD.∴∠B=∠C.动脑筋如图1-29，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF的中点.需添加一个什么条件，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？图1-29∵ME⊥CD，MN⊥CA，同理可得AM是∠CAB的平分线.可以添加条件MN=ME(或MN=

5、MF).∴M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线.图1-29如图1-30，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系.例2∴PE=PF.在△EBP中，BE+PE>PB，∴BE+PF>PB.∵AP是∠DAC的平分线，又PE⊥DB，PF⊥AC，解图1-30举例如图1-31，你能在△ABC中找到一点P，使其到三边的距离相等吗？动脑筋图1-31因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以只要作△ABC任意两角(例如∠A与∠B)的平分线，其交点P即为所求作的点.点P也在∠C的平分线上，如图1-

6、32.图1-32练习如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D.求证：(1)∠ECD=∠EDC；(2)OC=OD.(2)在Rt△OED和Rt△OEC中，∵OE=OE，ED=EC，∴Rt△OED≌Rt△OEC(HL).∴OD=OC.证明(1)∵点E在∠BOA的平分线上，EC⊥AO，ED⊥OB，∴ED=EC.∴∠ECD=∠EDC.∴△EDC是个等腰三角形.2.如图，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上.求证：AB=AD+BE.M证明作CM⊥AB于点M.∵AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，∴CD

7、=CM，CE=CM.在Rt△ACD和Rt△ACM中，∵CM=CD，AC=AC，∴Rt△ACD≌Rt△ACM.∴AD=AM.同理，BE=BM.又AB=AM+BM，∴AB=AD+BE.小结与复习1.直角三角形的两个锐角有什么关系？2.直角三角形斜边上的中线与斜边有什么关系？3.请用自己的语言叙述勾股定理及其逆定理.4.判断两个直角三角形全等的方法有哪些？5.角平分线有哪些性质？再见