《角平分线的性质》课件1

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1、角平分线的性质本课内容本节内容1.4角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线,它把这个角分成两个相等的角.探究如图1-26,在∠AOB的平分线OC上任取一点P,作PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D,E,试问PD与PE相等吗?图1-26你能证明吗?将∠AOB沿OC对折,我发现PD与PE重合,即PD与PE相等.图1-26∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中,∵∠PDO=∠PEO,∠DOP=∠EOP,OP=OP,∴△PDO≌△PEO.∴PD=PE.我们来证明这个结论.图1-26结论角的平分线上的点到角的两边的距离相等.由此得到角平分线

2、的性质定理:动脑筋角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗?如图1-27,点P在∠AOB的内部,作PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D,E.若PD=PE,那么点P在∠AOB的平分线上吗?图1-27在Rt△PDO和Rt△PEO中,∵OP=OP,PD=PE,∴Rt△PDO≌Rt△PEO.∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.如图1-27,过点O,P作射线OC.∴∠AOC=∠BOC.∴OC是∠AOB的平分线,即点P在∠AOB的平分线OC上.图1-27结论角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.由此得到角平分线的性质定理的逆定理:举例例1如图1-

3、28,∠BAD=∠BCD=90°,∠1=∠2.(1)求证:点B在∠ADC的平分线上;(2)求证:BD是∠ABC的平分线.图1-28证明:在△ABC中,∵∠1=∠2,∴BA=BC.又BA⊥AD,BC⊥CD,∴点B在∠ADC的平分线上.图1-28(1)求证:点B在∠ADC的平分线上;图1-28证明:在Rt△BAD和Rt△BCD中,∵BA=BC,BD=BD,∴Rt△BAD≌Rt△BCD.∴∠ABD=∠CBD.∴BD是∠ABC的平分线.(2)求证:BD是∠ABC的平分线.解作∠AOB的角平分线,交MN于一点,则这点即为所求作的点P.(提示:用尺规作图)练习如图,在直线MN上求作一点

4、P,使点P到∠AOB两边的距离相等.P2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,BD=CD.求证:AB=AC.证明∵点D在∠BAC的平分线上,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.∴AB=AC.在Rt△BED和Rt△CFD中,∵BD=CD,DE=DF,∴Rt△BED≌Rt△CFD.∴∠B=∠C.动脑筋如图1-29,已知EF⊥CD,EF⊥AB,MN⊥AC,M是EF的中点.需添加一个什么条件,就可使CM,AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢?图1-29∵ME⊥CD,MN⊥CA,同理可得AM是∠CAB的平分线.可以添加条件MN=ME(或MN=

5、MF).∴M在∠ACD的平分线上,即CM是∠ACD的平分线.图1-29如图1-30,在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P,作PE⊥DB,PF⊥AC,垂足分别为点E,F.试探索BE+PF与PB的大小关系.例2∴PE=PF.在△EBP中,BE+PE>PB,∴BE+PF>PB.∵AP是∠DAC的平分线,又PE⊥DB,PF⊥AC,解图1-30举例如图1-31,你能在△ABC中找到一点P,使其到三边的距离相等吗?动脑筋图1-31因为角平分线上的点到角的两边的距离相等,所以只要作△ABC任意两角(例如∠A与∠B)的平分线,其交点P即为所求作的点.点P也在∠C的平分线上,如图1-

6、32.图1-32练习如图,E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA于点C,ED⊥OB于点D.求证:(1)∠ECD=∠EDC;(2)OC=OD.(2)在Rt△OED和Rt△OEC中,∵OE=OE,ED=EC,∴Rt△OED≌Rt△OEC(HL).∴OD=OC.证明(1)∵点E在∠BOA的平分线上,EC⊥AO,ED⊥OB,∴ED=EC.∴∠ECD=∠EDC.∴△EDC是个等腰三角形.2.如图,在△ABC中,AD⊥DE,BE⊥DE,AC,BC分别平分∠BAD,∠ABE,点C在线段DE上.求证:AB=AD+BE.M证明作CM⊥AB于点M.∵AC,BC分别平分∠BAD,∠ABE,∴CD

7、=CM,CE=CM.在Rt△ACD和Rt△ACM中,∵CM=CD,AC=AC,∴Rt△ACD≌Rt△ACM.∴AD=AM.同理,BE=BM.又AB=AM+BM,∴AB=AD+BE.小结与复习1.直角三角形的两个锐角有什么关系?2.直角三角形斜边上的中线与斜边有什么关系?3.请用自己的语言叙述勾股定理及其逆定理.4.判断两个直角三角形全等的方法有哪些?5.角平分线有哪些性质?再见

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