丘成桐与卡拉比猜想60年

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1、丘成桐与卡拉比猜想60年——谨以此文献给丘成桐教授荣获菲尔兹奖30周年《光明日报》（2013年02月25日05版）丘成桐，汉族客家人，1949年4月4日生于中国广东汕头，丘镇英之子。现为哈佛大学数学系教授，清华大学数学科学中心主任。1983年获得数学界的“诺贝尔奖”——菲尔兹奖，是迄今为止仅有的两个获得该奖的华人数学家之一。图为丘成桐（右）和刘克峰先生。陈省身先生（1911-2004年）卡拉比空间丘成桐与卡拉比先生刘克峰1965年12月生，现任浙江大学数学中心执行主任兼数学系主任、光彪讲座教授、美国加州大学洛杉矶分校数学系教授。专业方向：微分几何、拓扑、数学物理。现任国际顶尖数学杂志《几何与分

2、析通讯》主编。他荣获了全球华人数学最高奖“晨兴数学金奖”和2004年教育部十大科技进展奖。他还获得了国际上著名的谷庚海默奖、全球华人数学家大会银奖、斯隆（Sloan）奖和特曼（Terman）奖等。演讲人：刘克峰时间：2月8日地点：美国加州大学洛杉矶分校20世纪50年代是几何与拓扑学最辉煌的时代。一批年轻的数学家证明了一系列伟大的数学定理，开天辟地，创造了一个崭新的时代。他们与他们的定理一起，熠熠生辉，照亮了整个数学的历史。卡拉比（Calabi）猜想在数学界的期盼中，等待着它真正的王者到来，这一等就是21年。1941年的霍奇（Hodge）理论刚刚由魏尔（Weyl）和小平邦彥（Kodaira）整理

3、完成。1945年陈省身引进的陈示性类由希策布鲁赫（Hirzebruch）发扬光大，证明了拓扑中的符号差定理与代数几何中的Hirzebruch-Riemann-Roch定理。工程师出身的博特（Bott）证明了他不朽的同伦群周期性定理。这些结果很快激发出了Atiyah-Singer指标定理。塞尔（Serre）用勒雷（Leray）的谱序列计算了代数拓扑中球面的同伦群，用层论写下了代数几何名篇GAGA，将复分析系统地引入代数几何。Kodaira证明了他著名的嵌入定理，发展了复流形的形变理论。稍后，米尔诺（Milnor）发现了七维怪球，纳什（Nash）证明了黎曼（Riemann）流形的嵌入定理。这些伟大

4、的数学家与他们的定理，如繁星闪耀在天空，令人目不暇给。1954年的国际数学家大会，菲尔兹（Fields）奖的获奖者是小平邦彥（Kodaira）和塞尔（Serre），他们的主要获奖工作都是将复分析、微分几何与代数几何完美地结合在一起。正如魏尔（Weyl）在他的颁奖词中所说：“他们的成就远远超越了他年轻时的梦想，他们的成就代表着数学一个新时代的到来。”也是在这届数学家大会上，31岁的意大利裔数学家卡拉比，在会议的邀请报告中用一页纸写下了他著名的猜想：令M为紧致的卡勒（Kahler）流形，那么对其第一陈类中的任何一个（1，1）形式R，都存在唯一的一个卡勒度量，其Ricci形式恰好是R。卡拉比还粗略地

5、描述了一个他的猜想的证明方案，并证明了，如果解存在，那必是唯一的。但3年后，在1957年的一篇关于Calabi-Yau流形的几何结构的文章中，他意识到这个证明根本行不通。这里需要求解一个极为艰深而复杂的偏微分方程，叫作复的Monge-Ampere方程。他去请教20世纪最伟大的数学家之一的魏尔（AndreWeil）教授。魏尔说：“当时还没有足够的数学理论来攻克它。”众所周知，庞加莱（Poincare）著名的单值化定理告诉我们，一维复流形的万有覆盖只有简单的三种，球面、复平面和单位圆盘。如何将单值化定理推广到高维流形，这个问题几乎主导了现代几何与拓扑的发展。而即使从复一维到复二维流形，问题的复杂性

6、已经远超想象，被数学家称作是从天堂到了地狱。或者说是上帝创造了黎曼面，简单美丽而又丰富多彩，是魔鬼制造了复曲面，内容复杂，令人眼花缭乱，头晕目眩。卡拉比猜想可以认为是单值化定理在高维不可思议的大胆推广，竟然给出了高维复流形中难得一见的一般规律。特别的是它在复卡勒流形的第一陈类大于零、等于零和小于零三个情形，指出了Kahler-Einstein度量的存在性，即此度量的第一陈形式等于其卡勒形式。这恰好对应于黎曼面三种单值化的推广。要知道，当时人们知道的爱因斯坦流形的例子都是局部齐性的，甚至都不知道复投影空间中的超曲面，如K3曲面上，是否有爱因斯坦度量。在这样一种情况下，卡拉比竟然做出如此大胆的猜测

7、，可见其胆识过人，也难怪此后多数几何学家都怀疑此猜想的正确性，许多人都在努力寻找反例，而不是证明它。正如庞加莱的单值化定理，霍奇定理需要经过数年，乃至数十年努力才得到完美的证明一样，卡拉比猜想也在数学界的期盼中，等待着它真正的王者到来，这一等就是21年。塞尔说过：“一个真正好的数学猜想，它的解决应该随之而来一系列的推论和绵延不断的影响。”还是在1957年，5岁的丘成桐正在世界的另一端过着清贫的生活