左三角范畴的商范畴与局部化

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1、数学杂志Vo1．33(2013)J．ofMath．(PRC)No．6左三角范畴的商范畴与局部化许庆兵，张孔生，陈华喜。(1．滁州职业技术学院基础部，安徽滁州239000)(2。东南大学数学系，江苏南京210096)(3．蚌埠学院数理系，安徽蚌埠233030)摘要：本文研究了左三角范畴的商范畴与其局部化的相关问题．利用正向极限构造了左三角范畴的商范畴，证明了该商范畴与用单边挠对定义的局部化范畴是等价的．关键词：左三角范畴；商范畴；局部化；roofMR(2010)主题分类号：18E30；18E35；18E40中图分类号：O154．1文献标识码：A文章编号：0255—7797(

2、2013)06．1093．081引言范畴论为数学各学科提供了一种公共的语言、工具、思维方法和研究手段．在某些情况下，我们可能需要研究某个具体的范畴C，但这个范畴不是良态的，比如说其结构形式过于复杂，难以进行具体的计算．于是我们可以采取一种变通的手段，试图去找出另外一个范畴C，此范畴的对象与C相同，并用这个范畴来近似替代或逼近范畴C，而这里的C的形式往往更加简单和易于计算．目前至少有两种途径可以解决这个问题，一是局部化的方法，另一途径就是构造商范畴．但是这两种方法都会在某种程度上丢失原来范畴的一些结构信息．本文研究了左三角范畴的商范畴与局部化，证明了由正向极限定义的商范畴与

3、挠对构造的局部化范畴是等价的．2基本概念与基本性质由Beligiannis和Marmaridis引入的单边三角范畴(即左或右三角范畴)是三角范畴的自然推广．他们在文献[1]中给出了左三角范畴的如下定义定义2．1[]设C是一个加法范畴，Q：C—C是一个加法函子，△是C中称为左三角的如下形式Q()一fu上W态射组构成，并且△满足(LtO)左三角态射(，，7)是使下图交换的态射组：收稿日期：2012—03．16接收日期：2012—0620基金项目：安徽省高校省级自然科学基金资助(KJ2012Z300)；安徽省教育厅自然科学基金资助(KJ2011B119)．作者简介：许庆兵(19

4、75-)，男，安徽全椒，硕士，讲师，主要研究方向：代数表示论．数学杂志Q(7)丁Q(63)b1b2并且△取左三角同构封闭．(Lt1)Vu∈C，A包含左三角0一一0，并且对任意C中态射f：—W，存3叫叩3在左三角Q(叫)一札一三W．(Lt2)如果Q(叫)一fuu—h叫是左三角，则Q()’Q()二uu也是左三角．(Lt3)如果下图是行为左三角的交换图(即行属于△的交换图)b1则存在态射Ol：a1—bl，使得上图继续为交换图．叫．(Lt4)对任意两个左三角(叫)三乱一g—h和()一i上上z存在左三●●●_-角Q()一JP—m—kh和两个态射：—P及：P—，使得下图交换并且行为左

5、三角和左边第二列也是左三角：()(1))L夕—J"Q()——上—一P一一l，、Q()——X一W——称如上的三元组fC，Q，△)为左三角范畴，有时简称C为左三角范畴．稳定范畴与左三角范畴关系密切．Bdigiannis和Marmaridis在文献f1】中证明了，如果是加法范畴c的一个反变有限子范畴，并且每一个一满射都有核，则稳定范畴ClX可以构成左三角范畴．对偶的，如果是C的一个共变有限子范畴，并且每一个一单射都有余核，则稳定范畴c／y也可以构成右三角范畴．关于稳定范畴的相关概念性质可参见文献【21．设C是一个加法范畴，和是C的两个满子范畴，C中复形a：⋯ai+l_-÷__+

6、’No．6许庆兵等：左三角范畴的商范畴与局部化称为右一正合，如果对每一个∈，C(，a’)：⋯--+c(x，ai十1)--÷c(x，ai)__÷．．是正合列，特别地，如果复形ab一0是右一正合，称态射f：a—b是．满射，对于0∈的一满射f：a—b称为b的右一逼近，如果C的每一个对象b都有右一逼近，称是反变有限子范畴．类似可定义左一正合、左一单射、左．逼近、共变有限子范畴等概念．设wC是反变有限子范畴，：e—ClW，：C—c／x，7：ClX(c／w)l(XlW)是标准函子，对任意a，b∈c，记(口)=a，(6)=，对C中态射f：a—b，记(，)=厶：a一b．定理2．1(1)如

7、果W是加法范畴C的反变有限子范畴，并且W，是C的满子范畴，如果f：a—b是一满射当且仅当，Q：a一b。是xIW一满射．(2)如果W是加法范畴C的共变有限子范畴，并且W，是C的满子范畴，如果f：0一b是一单射当且仅当厶：a。一b是y／w一单射．证参见文献[3】．推论2．1(1)是C的反变有限子范畴当且仅当x／w是c／w的反变有限子范畴．(2)是c的共变有限子范畴当且仅当y／w是c／w的共变有限子范畴．证由定理2．1可得．引理2．1存在同构F：(x／w)(a，b。)一x(a，6)／w(0，6)．证参见文献f31．引理2．2存在加法