三角范畴和abel范畴的torsion理论

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1、数学杂志Vo1．34(2014)J．ofMath．(PRC)NO．6三角范畴和Abel范畴的Torsion理论林记，姚云飞(阜阳师范学院数学与计算科学学院，安徽阜阳236037)摘要：本义主要研究了三角范畴住Abel化过程中torsion理论的保持问题．利用三角范畴的coherent函子范畴是Abel范畴，证明了丁的coherent函子范畴(丁)是()的thick子范畴；若(，y)是的torsion理论，且=的扩张是可裂的，那么(()，一4())是一4()的torsion理论．关键词：三角范畴：coherent函子范畴；thick子范畴：torsion理论MR(2010)主题分类号：

2、18E10；18E30；18E35中图分类号：O154．1文献标识码：A文章编号：0255．7797(2014)06．1134-071引言Torsion理论是代数表示论研究的基本对象之一，也是代数学其他分支，如几何和拓扑等学科，研究的基本工具之一．Torsion理论在三角范畴的理论研究中起着重要的作用，三角范畴的Torsion理论和t一结构，倾斜理论有着密切关系．上世纪六十年代Dickson[1】将Abel群的Torsion理论推广到一般的Abel范畴．文章主要研究了由已知三角范畴通过coherent函子范畴构造Abel范畴时，三角范畴的Torsion理论和新的Abel范畴的Tors

3、ion理论之间的关系．Auslander等[2-4]于上世纪八十年代引入反变有限子范畴和共变有限子范畴的概念，由此解决了模范畴的子范畴上几乎可裂序列的存在性问题，他们在确定代数的表示型以及范畴的倾斜理论方面起着重要作用．Thick子范畴是同伦范畴，交换代数和群表示论的重要研究基础，文章研究了三角范畴Abel化过程中，具有好性质的子范畴的保持问题．下面定理是我们的主要结果之一：定理1．1设是三角范畴，丁是的满子范畴．如果丁是的反变有限子范畴，并且丁对有限直和封闭，那么丁的coherent函子范畴(丁)是A(9)的thick子范畴．进一步地，我们考虑三角范畴的Torsion理论与A(D)

4、的Torsion理论，得到下面结果：定理1．2设是三角范畴，其Torsion理论记为(，)，如果=的扩张是可裂的，那么(()，())是的coherent函子范畴()的Torsion理论．2预备知识收稿日期：2013—10—08接收日期：2013—12—03基金项目：国家级特色专业“数学与应用数学”建设项目(TSl1496)；阜阳帅范学院精品扦放课程(2012KFKC10)；阜阳师范学院自然科学研究项目(2013FSKJ07)；申．阳师范学院自然科学研究项目(2013FSKJ13)；安徽省高等学校优秀青年人才基金项目(2012sQRL115zD)资助．作者简介：林记(1981一)，女，

5、川自贡，讲师，主要研究方向：代数表示论．林记等：三角范畴和Abel范畴的Torsion理论从而文中我们假定C是加法范畴，是三角范畴．在本节中，我们回忆一些将要用到的定义和有结论．正口定义2．1[2]设丁是C的满子范畴．若对任意X∈C，存在右丁一逼近，即存在M∈T和列态射OL：M—，满足对任意T1∈T，Homc(T1，OL)：Homc(T1，)一Homc(T1，X)是满射，则称丁是C的反变有限子范畴．考虑C。P到Abel群的函子，如果对任意X∈C都有Abel群的正合列F—FFX，那么我们称函子序列F一F—F是正合的．下面给出加法范畴C的coherent函子Ho的定义．m丁定义2．2【】

6、如果C的函子F满足：存在，Y∈C，使得、●／Homc(一，X)Homc(一，Y)一F．_÷0Ho是正合列，那么我们称F是C的coherent函子．m丁注记2．3【。】根据Yoneda引理，我们有coherent函子F：COp—Ab可以作成加法范畴并且有cokernel，称之为加法范畴C的coherent函子范畴，记作(C)．、l，y定义2．4【]如果在A(c)中存在正合列Homc(一，X)Homc(一，Y)一Homc(一，)，那么我们称态射y是态射yZ的弱kerne1．Ho对于加法范畴C，有如下引理：m丁引理2．5[5]如果加法范畴C有弱kernel，那么1是Abel范畴．由引理2．

7、5，易得三角范畴的coherent函子范畴A(D)是Abel范畴．为方便读者，我们给出下面引理及其证明．引理2．6设丁是三角范畴的满子范畴．如果丁是的反变有限子范畴，那么A(T)是Abel范畴．证任取ZET和态射：Y—z．一方面，在三角范畴中有三角XYZ—[1】另一方面，对于存在着右丁一逼近7：M—，即有满射HomT-(一，)：Hom=r(一，M)一Hom7-(一，X)故Hom~(一，M)I-IomT(一，Y)Homq-(一，Z)也是正合列，因此：My是态