一类极小系统的动力性状

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1、第３６卷第２期华侨大学学报（自然科学版）Ｖｏｌ．３６Ｎｏ．２２０１５年３月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｕａｑｉａｏＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）Ｍａｒ．２０１５文章编号：１０００５０１３（２０１５）０２０２３７０４犱狅犻：１０．１１８３０／ＩＳＳＮ．１０００５０１３．２０１５．０２．０２３７一类极小系统的动力性状颜棋，尹建东（南昌大学理学院，江西南昌３３００３１）摘要：引进了真弱几乎周期点极小系统这一新概念，即一个含有真的弱几乎周期点而不存在真子系统具有此性质的系统，并证明了该系统是拓扑传递，具有满测度中心．结果表

2、明：该系统是Ｔａｋｅｎｓ?Ｒｕｅｌｌｅ混沌的，强遍历和完全遍历敏感的．关键词：弱几乎周期点；极小系统；强遍历；遍历敏感中图分类号：Ｏ１８９．１文献标志码：Ａ（犡，犳）为一个紧致系统，犡为紧致度量空间，犳为犡上的连续自映射．要研究（犡，犳）的动力性状，一种常见的用法是研究该系统的全部子系统，即系统的全部不变子集，并弄清楚各子系统的性质及原系统之间的关系．从而那些不可再分解的更小的系统成为研究的主要对象．拓扑动力系统的核心问题是研究点的轨道渐近性或拓扑结构．为了能够更深刻地刻画拓扑动力系统中点的轨道结构与遍历内涵，相继引［１?２］进了弱几乎

3、周期点和拟弱几乎周期点这两个概念，并指出存在真的弱几乎周期点．１９９３年，Ｃｏｖｅｎ［３］等定义了熵极小系统概念，如果有非空不变闭子集犢犡，使得ｅｎｔ（犳｜）＝ｅｎｔ（犳），则犢＝犡，即熵极犢小系统没有真子系统和原系统的熵一致，熵极小系统是拓扑传递的，以及线段上拓扑传递分段单调的连［４］续映射是熵极小的．王肖义等定义了混沌极小系统概念，如果它本身在Ｌｉ?Ｙｏｒｋｅ意义下是混沌的，并且所有真子系统都不是Ｌｉ?Ｙｏｒｋｅ混沌的，讨论其部分动力性状．本文给出了真弱几乎周期点极小系统这一新概念，即犳是有真的弱几乎周期点，若犢是犡的关于犳不变的

4、非空闭子集，且犳｜具有真的弱几犢乎周期点，则犢＝犡．１基本概念和记号设（犡，犳）是一个紧致系统，犣为正整数集．假设犝，犞犡是两个非空开集，狓∈犡．记犖（犝，犞）＝＋｛狀∈犣－狀（犞）≠｝和犖（狓，犝）＝｛狀∈犣狀（狓）∈犝｝．＋｜犝∩犳＋｜犳＃｛犛∩（１，２，３，…，狀）｝设犛犣，令（犛）＝ｌｉｍｓｕｐ，这里＃（·）表示集合的基数．若（犛）＞０，则＋ηη狀→∞狀称犛有正上密度（ＰＵＤ）．设狓∈犡，狓在犳的作用下生成的轨道｛狓，犳（狓），犳２（狓），…，犳狀（狓），…｝记作ｏｒｂ（狓），易见ｏｒｂ（狓）是对犳不变的闭子集．犃犣＋称

5、为相对稠密的，若存在犖∈犣＋使得对于任意狀∈犣＋，［狀，狀＋犖］∩犃≠．如果对任意的两个非空开集犝，犞，有犖（犝，犞）≠，则称犳是拓扑传递的；如果对任意的两个非空开集犝，犞，犖（犝，犞）具有正上密度，则称犳是拓扑遍历的；如果对任意的两个非空开集犝，犞，犖（犝，犞）是相对稠密的，则称犳是拓扑强遍历的．犕称为极小的，如果犕是犡的非空不变闭子集，且不存在犕的真子集满足上述性质．假如犕犡收稿日期：２０１４０８３０通信作者：尹建东（１９７５），男，副教授，博士，主要从事拓扑动力系统的研究．Ｅｍａｉｌ：ｙｊｄａｘｆ＠１６３．ｃｏｍ．基

6、金项目：国家自然科学基金资助项目（１１２６１０３９）；江西省自然科学基金资助项目（２０１３２ＢＡＢ２０１００９）２３８华侨大学学报（自然科学版）２０１５年是极小的，狓∈犕，则称狓是犳的一个极小点，犳所有的极小点的集合记为犃（犳）．点狓∈犡称为犳的一个弱几乎周期点，对任意的ε＞０，存在整数犖，使得基数ε＞０狉（狓）∈犞（狓，ε），０＜狉＜狀犖｝）≥狀，狀＞０．＃（｛狉狘犳ε上式中：犞（狓，ε）＝｛狔∈犡｜犱（狓，狔）＜ε｝是狓的半径为ε的球形邻域；犳的所有弱几乎周期点的集合记为犠（犳）．［１］给定一个紧致系统（犡，犳），如果犠（犳）－犃

7、（犳）≠，则称该系统含有真的弱几乎周期点．用犕（犡）表示可测空间（犡，（犡））上的全体概率测度的集合，这里（犡）表示由犡上的开集所生成ββ的Ｂｏｒｅｌ?σ代数，它是一个可度量紧致有仿射结构的凸空间，其上拓扑称为ω拓扑．犿∈犕（犡）称作犳的不变测度，如果犿（犳－１（犃））＝犿（犃）对于任意的犃∈（犡）成立．犳的全体不变测度的集合记为犕（犡，β犳）．设犿∈犕（犡，犳），用ｓｕｐｐ（犿）表示犿的全体支撑点的集合，即ｓｕｐｐ（犿）＝｛狓∈犡狘ε＞０，犿（犞（狓，ε））＞０｝．（犡，犳）称为犈?系统，若犳是拓扑传递的，且存在犿∈犕（犡，犳）

8、，使得ｓｕｐｐ（犿）＝犡．如果存在犡中的非空不变闭子集犈，使得犿（犈）＝１对于任意的犿∈犕（犡）成立，且犈无真子集满足上述条件，则称犈是［５?６］犳相对犡的测度中心，将犳的测度中心记为犕（犳）．设犞犡，δ