宇宙的所有可能构和拓扑结wmtc形状

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1、宇宙的拓扑结构和所有可能的形状加州大学伯克利分校MichaelHutchings北京WMTC2012年11月23日问题：整个宇宙是什么形状的？答案：没人知道．我们甚至不知道它是“有限的”（紧致的）还是“无限的”（不紧致的）．问题：（有限）三维空间的可能是什么数学形状？Thurston推测的答案最近被Perelman及其他人证明了．容易点儿的问题：两维空间（面）可能有哪些形状？很久以前，人们就想知道，地球是什么形状的？平面球面环面或者是别的什么形状？我们不理会山脉和山谷．在拓扑学中，两个形状被认为是相同的，或者是“同胚”，如果一个形状可以通过连续变形成为

2、另外一个．例如：甜甜圈咖啡杯然而，球面和环面（甜甜圈）是不同胚的．为什么不呢？为了解释这个问题，我们需要回忆欧拉公式．欧拉公式是对一个凸多面体而言的，如：，，…如果V=顶点的个数，E=边的个数，F=面的个数，那么V−E+F=2．V=8,例如：立方体中有E=12,F=6.更多的例子:二十面体有序的十四面体V=12,V=12,E=30,E=24,F=20.F=14.另一个例子取出10个变形的立方体，并将它们放在一起构成一个甜甜圈的形状：V=40,E=80,V−E+F=0.F=40，为什么欧拉公式在这里无效呢？记住：欧拉公式要求多面体是凸的．三维欧氏空间中的

3、表面是凸的，如果表面上的任意两个点之间的线段在面的“内部”．而甜甜圈不是凸的，所以欧拉公式是不适用的．为什么欧拉公式是正确的？·一个凸多面体和球面是同胚的．·球面上有一个动点的球面和平面是同胚的．球面投影将球面投影成北极移除的平面，反之亦然．一个多边形定义一个平面平面内的有限点集（顶点），被彼此不交叉的路径（边）连接．足以表明，对于每一个平面图形，都有V−E+F=2．例如：请注意，“外部”是被当作一个“面（区域）”来数的．但是，这并不总是对的．如：V=8，E=12，F=7,V−E+F=3．修正公式是V−E+F=1+K．这里，k=连接的部件（“块”）的曲

4、线图的个数．例如，上面的K=2．现在，我们可以用归纳法证明这个公式．基准情况：没有点或没有边，则V=0，E=0，F=1，K=0．V−E+F=+1K．√现在，增加顶点的个数和边的数量来确保这个公式是正确的．·如果我们增加一个点，那么V和K都增加1，E和F不改变，那么V−E+F=1+K仍然正确．·如果我们增加一条边会怎么样呢？两种情况．如果我们在同一个组件中的两个点之间增加一条边，那么一个面将变成2个面．所以E和F都增加了1，V和K不改变，于是V−E+F=1+K仍然正确．如果在两个组件之间增加一条边，那么一个面不能变成两个面．但是两个组件将连成一个．于是E

5、增加1，K减少1，V和F不改变，所以V−E+F=1+K仍然正确．回到面的拓扑结构一个面的“多边形分解”是表面（有一个组件）的一个图形，这样每个面都和圆盘同胚．我们已经看到，对于球面的每一个多边形分解，都有V−E+F=2．圆环上会发生什么情况呢？我们可以将圆环认为是一个对边固定的正方形．这里是一个多边形分解成的圆环．V=4，E=8，F=???434212434V=4，E=8，F=4，V−E+F=0.这在球面上是不会发生的．因此，球面和圆环是不同胚的．事实：设S是一个面．那么，对于S的所有多边形分解，V−E+F是相同的，这个数字被称为S的欧拉特征数，记为x

6、S()．我们已经看到，还有别的例子吗？=“genusg黎曼面”x(∑g)=−22g.为什么？S和S这两个面的连接和，记为S#S，是通过以下方式获得的，即从S和S中除121212去圆环并将边界圆滚动胶合在一起．例如：∑g1#∑g2=∑g1+g2．要求xS(+S)=xS()+xS()−2．1212证明：选择分解S和S中的多边形，这样被移动的圆环有n个顶点和n个面．将这些12粘合在一起构成分解多边形S#S，同时12V=V+V−n，12E=E+E−n，12F=F+F−2,12V−E+F=(V1−E1+F1)+(V2−E2+F2)−2,xS(1#S2)=xS(1

7、)+xS(2)−2．□命题得证，且暗示x(∑g)=−22g．例如，你可以用欧拉公式来展示一个球面的每个多边形分解后的每个面都有少于6条的棱．但是，在亏格3的表面，∑3分解多边形后有24个面，每个面都是7边形，3个面相交于一个顶点处．F=24,247×E==84,2247×V==56,3V−E+F=−4．在伯克利的数学科学研究所有一个雕塑．别的(曲)面克莱因瓶：和圆环类似，但是顶部和底部的边反方向粘合在一起．（不交叉是不能被嵌入在三维欧几里得空间中的．）克莱因瓶是不可定向的．这意味着你可以在表面周游，然后反向回到原地．面∑g是可定向的．因此，克莱因瓶和面

8、∑g是不同胚的．射影平面也是不可定向的曲面．你可以复核：x（射影平面）=1，x（克莱因瓶）=0