《从线性到非线性》PPT课件

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1、第三章从线性到非线性真正的定律不可能是线性的，而且也不可能是从这些线性方程中得到。----爱因斯坦线性律和非线律之间的一个明显区别就是叠加性质有效还是无效：在一个线性系统里，两个不同因素的组合作用只是每个因素单独作用的简单叠加。但在非线性系统中，一个微小的因素能导致用它的幅值无法衡量的戏剧性结果……可能导致突变。---普利高津在大自然中的许多事情确实不是线性的，这包括使这个世界感兴趣的大多数事情。我的大脑肯定不是线性系统……经济也并非是线性系统。除了非常简单的物理系统外，世界上几乎所有的事情，所有的人，都被裹罩在一张充

2、满刺激、限制和相互关系的巨大的非线性大网之中。----沃尔德罗线性理论线性，指量与量之间成比例关系，用直角坐标形象地画出来是一条直线。在空间与时间上代表规则与光滑的运动。在线性系统中，整体的行为或性质等于部分之和。描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加起来仍然是解，复杂性不因叠加产生。线性系统的各个组成部分互不相干、各自独立起作用。线性理论线性理论的研究对象为线性系统，主要研究系统状态的运动规律和改变这种运动规律的可能性方法，建立和揭示系统结构、参数、行为和性能之间的确定的和定量的关系。对于线性系统，常用的数

3、学模型有时间域模型，一般为多元一阶联立方程。线性理论严格的说，真正的线性系统是不存在的，一切实际的系统都是非线性的。对于我们所研究的问题，当实际系统与理想化的线性系统之间的差别已经小到无关紧要而可以忽略不计的程度时，我们可以用线性理论的分析方法来决定非线性系统在局部范围内的某些性质，但应该注意，用线性理论分析这种线性化的系统所得到的结论，一般不能用来推论原来非线性系统的性质或现象。例如很多的物理现象的研究，都是把物体受到的摩擦等忽略掉。非线性理论非线性，指量与量之间不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。研究

4、非线性系统的动态行为，一般难以通过解析方法求解，而几何方法主要用于定性分析，常用的方法是用计算机进行数值计算求近似解。非线性理论：耗散结构论、突变论和协同学耗散结构论耗散结构论是比利时著名科学家普利高津于1969年创立的，来源于物理、化学研究。耗散结构论：有序结构的形成和维持需要耗散能量与物质，耗散结构论就是研究耗散结构的形成、稳定、演化及其性质。耗散结构是相对平衡结构而言的。平衡结构，是一种“死”结构，它不需要进行任何能量或物质的交换就能维持。耗散结构是一种“活”结构，它依靠能量的耗散才能维持其有序状态。耗散结构论按

5、照好散结构理论，一个宏观有序状态的自发产生和维持，至少需要三个条件：1、系统必须是开放的，开放系统是产生有序结构的前提平衡态是指系统各处可测的宏观物理性质均匀(从而系统内部没有宏观不可逆过程)的状态，它遵守热力学第一定律：dE=dQ-pdV，即系统内能的增量等于系统所吸收的热量减去系统对外所做的功；热力学第二定律：dS/dt>=0，即系统的自发运动总是向着熵增加的方向。热力学第二定律告诉我们，一个孤立系统的熵一定会随时间增大，熵达到极大值，系统达到最无序的平衡态，所以孤立系统绝不会出现耗散结构。那么开放系统为什么会出现

6、本质上不同于孤立系统的行为呢？其实，在开放的条件下，系统的熵增量dS是由系统与外界的熵交换deS和系统内的熵产生diS两部分组成的，即：dS=deS+diS。热力学第二定律只要求系统内的熵产生非负，即diS>=0，然而外界给系统注入的熵deS可为正、零或负，这要根据系统与其外界的相互作用而定，在deS<0的情况下，只要这个负熵流足够强，它就除了抵消掉系统内部的熵产生diS外，还能使系统的总熵增量dS为负，总熵S减小，从而使系统进入相对有序的状态。所以对于开放系统来说，系统可以通过自发的对称破缺从无序进入有序的耗散结构状

7、态。2、系统必须处于远离平衡的条件下，非平衡是有序之源远离平衡态是指系统内可测的物理性质极不均匀的状态，远离平衡态是相对于平衡态和近平衡态而言的。近平衡态是指系统处于离平衡态不远的线性区，它遵守昂萨格(Onsager)倒易关系和最小熵产生原理。前者可表述为：Lij=Lji，即只要和不可逆过程i相应的流Ji受到不可逆过程j的力Xj的影响，那么，流Ji也会通过相等的系数Lij受到力Xi的影响。后者意味着，当给定的边界条件阻止系统达到热力学平衡态(即零熵产生)时，系统就落入最小耗散(即最小熵产生)的态。3、系统内部必须存在适

8、当的非线性反馈，通过涨落达到有序系统产生耗散结构的内部动力学机制，正是子系统间的非线性相互作用，在临界点处，非线性机制放大微涨落为巨涨落，使热力学分支失稳，在控制参数越过临界点时，非线性机制对涨落产生抑制作用，使系统稳定到新的耗散结构分支上。一个由大量子系统组成的系统，其可测的宏观量是众多子系统的统计平均效应的反映。但系统在每一时