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1、在生产和科学实验中，自变量x与因变量y之间的函数关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值.当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数在该点的数值.这就要根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=φ(x)，使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值，寻找这样的函数φ(x)，办法是很多的.根据测量数据的类型有如下两种处理观测数据的方法：①测量值是准确的，没有误差，一般用插值.②测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合.第六讲曲线拟合一.曲线拟合已知离散点上的数据集求得一解析函数
2、y=f(x)，使f(x)在原离散点xi上尽可能接近给定yi的值，这一过程叫曲线拟合.最常用的曲线拟合是最小二乘法曲线拟合，拟合结果可使误差的平方和最小，即找出使下式最小的f(x):通常，在解决实际问题时先将已知数据的散点图画出，然后设计拟合的曲线类型，最后根据某种准则选定最佳的曲线.1.多项式拟合多项式拟合就是选择适当的多项式对数据集进行拟合，其命令为：格式：p=polyfit(X,Y,n).说明：求出已知数据(X,Y)的n阶拟合多项式f(x)按降幂排列的系数p，X必须是单调的.例1.对以下数据作出
3、散点图，然后用多项式拟合：(0.5,1.75),(1,2.75),(1.5,3.81),(2,4.8),(2.5,7),(3,8.6)解：x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];plot(x,y)发现：这些点大致地位于某条直线附近，故可考虑线性拟合：p=polyfit(x,y,1)ans:p=2.7937-0.1540即拟合函数为：y=2.7937x-0.154(图6.1)上述函数的拟合效果如何？我们可以通过计算误差
4、平方和的大小进行考察（两种方法）：(1)sum((2.7937*x-0.154-y).^2)=0.9136如果用二次函数进行拟合，则有：p=polyfit(x,y,2)p=0.56140.82871.1560即拟合函数为：此时误差平方和为：sum((polyval(p,x)-y).^2)=0.1781根据误差平方和最小原则：二次函数优于线性函数(2)sum((polyval(p,x)-y).^2))=0.9136是否有误差等于零的多项式？有，那就是该数据点的插值多项式（五次多项式）通常，给出两点的坐
5、标，我们可以得到一条直线；若给出三点的坐标，我们可以得到一条抛物线；…，给出n个点的坐标，我们可以得到一个n-1阶的多项式.是否多项式的阶数越高越好呢？非也！在解决实际问题时，只要达到所需的精度，应尽量选择简单的函数.p=-1.600013.7400-44.073365.6650-42.631711.3500此时多项式在x处的函数值为：polyval(p,x)ans=1.75002.45003.81004.80007.00008.6000例2.某种合金中的主要成分为A,B两种金属，经过试验发现：这两
6、种金属成分之和x与合金的膨胀系数y有如下关系，建立描述这种关系的数学表达式.x3737.53838.53939.54040.54141.54242.543y3.4332.272.11.831.531.71.81.92.352.542.9解：首先作出散点图:x=37:0.5:43;y=[3.4,3,3,2.27,2.1,1.83,1.53,1.7,1.8,1.9,2.35,2.54,2.9];plot(x,y,’*’)发现：有点像抛物线，故选二次函数拟合.p=polyfit(x,y,2)p=0.166
7、0-13.3866271.6231即为所求拟合曲线误差平方和：R=sum((polyval(p,x)-y).^2)=0.2523(图6.2)设有实验数据,寻找函数使得函数在点处的函数值与观测数据偏差的平方和达到最小.即求满足如下条件的函数使得最小解决此类问题有以下几个步骤：（1）首先作出散点图，确定函数的类别；（2）根据已知数据确定待定参数的初始值，利用Matlab软件计算最佳参数；（3）根据可决系数，比较拟合效果。2.非线性拟合其中R2越趋近于1表明拟合效果越好.如果是多项式函数，则称为多项式回归
8、，此时的参数即多项式的系数；如果为指数函数、对数函数、幂函数或三角函数等，则称为非线性拟合.下面的图形给出了常见曲线与方程的对应关系：在Matlab中实现可决系数的命令：R2=1-sum((y-y1).^2)/sum((y-mean(y)).^2)可决系数的计算公式为幂函数指数函数双曲线函数对数函数指数函数S形曲线具有S形曲线的常见方程有：罗杰斯蒂（logistic）模型：龚帕兹（Gomperty）模型：理查德（Richards）模型：威布尔(Weibull)模型：为
