第1届初二第2试

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1、希望杯第一届（1990）第二试试题一、选择题:（每题1分，共5分）1.等腰三角形周长是24cm，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是[]A．7.5B．12.C．4.D．12或42.已知P=，那么P的值是[]A．1987B．1988.C．1989D．19903．a＞b＞c，x＞y＞z，M=ax+by+cz，N=az+by+cx，P=ay+bz+cx，Q=az+bx+cy，则有[]A．M＞P＞N且M＞Q＞N.B．N＞P＞M且N＞Q＞MC．P＞M＞Q且P＞N＞Q.D．Q＞M＞P且Q＞N＞P4．凸四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=

2、900,∠CDA∶∠ABC=2∶1,AD∶CB=1∶,则∠BDA=[]A．30°B．45°.C．60°.D．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割[]A．是不存在的.B．恰有一种.C．有有限多种，但不只是一种.D．有无穷多种二、填空题:（每题1分，共5分）1．△ABC中，∠CAB-∠B=90°，∠C的平分线与AB交于L，∠C的外角平分线与BA的延长线交于N．已知CL=3，则CN=______．2．若,那么的值是_____.3．已知

3、a，b，c满足a+b+c=0，abc=8，则c的取值范围是______．4．ΔABC中,∠B=300,AB=,BC=,三个两两互相外切的圆全在△ABC中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______．5．设a,b,c是非零整数,那么的值等于_________.三、解答题:（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD和A＇B＇C＇D＇，且正方形A＇B＇C＇D＇的顶点A5＇在正方形ABCD的中心．当正方形A＇B＇C＇D＇绕A＇转动时，两个正方

4、形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列n1＜n2＜n3＜n4……，试求：n1·n2之值．5答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y

5、=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3=∠N．∴NC=LC=3．55．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三

6、、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的

7、倍数，即a-b=k×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即a-b=177．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积SA＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，5∴SA＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的

8、四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中1990=7×