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1、数列求通项明师教育项目组望习才求通项方法总结习题：一、观察法猜想通项公式14提示：二、根据递推关系求通项1.逐差法——注意右边n项和必须可以求和，否则此法行不通备注：取倒数之后变成逐差法。2.在数列{}中，已知，求该数列的通项公式.备注：取倒数之后变成逐差法。解：两边取倒数递推式化为:，即所以…,将以上个式子相加，得：即故14备注：倒数后变逐差法。2.逐商法备注：逐商法的经典案例。备注：经典题，通过简单变换就变成逐商法。备注：经过简单变换之后是逐商法。备注：取完对数之后变成了逐商法，也可以看作是等比数
2、列。备注：一问奇偶项分析的典型案例。二问理科题，逐商法的应用。143.类型一：备注：类型1经典题。备注：经典题，通过an和sn的关系变换之后成为类型1。备注：取完对数之后变成了类型一。备注：取完对数之后变成了类型一。4.类型二：备注：类型2典型题。两种解法。备注：类型2常见题型。两种解法。16.(2006年全国Ⅰ卷)在数列中,,.求首项与通项.14解：由题意得，解得.又，即，设，利用待定系数法可得，又，所以数列是公比为的等比数列.所以，即.9.设数列的前项为，已知．(I)证明：当时，是等比数列；(II
3、)求的通项公式．备注：二问三种方法，一是除以，而是除以，或者待定系数法用逐差法来做。解析：由题意，在中，令，得，．由,得,两式相减得：,即 …①（Ⅰ）当时，由①知， 于是又，所以是首项为1，公比为2的等比数列．（注：如果是求通项，也可化为等差数列来解决，解法如下：当时，由①知，，两边同时除以得，即，∴是等差数列，公差为，首项为∴,∴(易看出是等比数列,首项为1,公比为2))（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，，即当时，由①：， 两边同时除以得，可设 …………②，展开②得，与比较，得，∴，∴14∴是等比数列，公比
4、为，首项为∴，即，∴.注：本问也可由待定系数法得到进而求出通项.备注：类型二典型题，也可以使用待定系数法。17.已知数列满足，求数列的通项公式.解：设,与比较系数得:，则，故,则，故为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，即.145.类型三：备注：三项递推关系再加上一个f（n）6.类型四：有如下结论:设方程(此方程可在递推关系式中将的两根为,(1)若且,则,即数列{}等比数列;14(2)若,①若,则即数列{}等差数列; ②若(3)若注:事实上,(2)②与(3)在极特殊的情况下在出现,且出现这两种情
5、况时,通项公式一眼就能看出来,故实际上我们要重点关注的其实只有(1)与(2)①这两种情况.12.已知数列满足,求通项.备注：两个特征根相等时可以构造等差数列解:(考虑特征方程得特征根)所以数列是以为首项,1为公差的等差数列,故,即13．(2009江西)各项均为正数的数列{}满足：=,=b且对任意的m+n=p+q的正整数m,n,p,q都有,当=,b=时求数列{}的通项公式.备注：两个特征根不相等时可以构造等比数列解:由得将代入上式化简得解方程得：(注：参加高考时，这一步在草稿上完成，不要写在试卷上)，所
6、以数列是以为首项,以为公比的等比数列，故，解得.1414.（2005年高考·重庆卷）设数列满足（），且.求数列的通项公式及数列的前n项和。备注：两个特征根不相等时可以构造等比数列解法一：由已知得，由方程，求出不动点，。于是，所以数列是公比为的等比数列,所以，解得故数列的前n项和为.7.奇偶项分析法34．求数列:的一个通项公式.14备注：一问奇偶项分析的典型案例。二问理科题，逐商法的应用。25.已知数列｛｝中，，，，（其中），求.备注：1，间隔两项的关系，要奇偶分析。2，求出奇数项表达式后代入即可求偶数
7、项表达式，3，是一个等比数列，不要再奇偶分析了。解：于是，则于是综上可知：当时，;当时，.148.其它题型——数列经过一定变换之后成为常规数列三、已知Sn与an关系求通项27.已知为数列的前项和,且,求数列的通项公式.解:当时，，当时，.而时，，.备注：n=1的时候后面算出来的通项不一定满足，所以要写成分段的形式。备注：此题消掉sn不好做，就转头消掉an也许很好做。思路灵活。备注：下来再研究。备注：下来再研究。14四、用不完全归纳法猜想，用数学归纳法证明30.设数列满足:求数列的通项公式.解:由，得;
8、由，得由得,猜想,以下用数学归纳法证明:(1)当n=1时,31.设数列满足:求数列的通项公式.14五．递推数列的简单应用（一）an=p·an－1+q型37．某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是,从开关第二次闭合起,若前次出现红灯,则下次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，记开关第n次闭合后出现红灯的概率为Pn.(1)求：P2；(2)求证：Pn<(
