圆与学科内知识的综合

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1、圆与学科内知识的综合为了体现数学知识之间的相互联系，有利于学生感受数学的整体性，中考试题往往将圆与四边形和相似形以及三角函数等多个知识点进行叠加，从而使问题具有较强的综合性．请看下面的例题．一、圆与相似相结合图1例1（2009年丽水市）如图1，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D．（1）尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；（2）求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线；（3）若过A，D，C三点的圆的半径为,则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似.若存在，求出DP的长；若

2、不存在，请说明理由．分析：（1）本题作法不唯一．△ACD为直角三角形，我们知道直角三角形外接圆的圆心为斜边中点，故只需作出AD边的垂直平分线即可找到圆心；（2）欲证BC为⊙O的切线，只需证∠BCO=90°；（3）两相似三角形的对应关系不确定，诱发分类讨论．图2解：（1）作出圆心O，以点O为圆心，OA长为半径作圆.（2）证明：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°．∴AD是⊙O的直径，连结OC，∵∠A=∠B=30°，∴∠ACB=120°．又∵OA=OC，∴∠ACO=∠A=30°，∴∠BCO=∠ACB－∠ACO=120°－30°=90°.∴BC⊥OC，∴BC是⊙O的切线．（3）存在．∵

3、∠BCD=∠ACB－∠ACD=120°－90°=30°，∴∠BCD=∠B,即DB=DC．又∵在Rt△ACD中，DC=AD，∴BD=.①过点D作DP1//OC，则△P1DB∽△COB，，∵BO=BD+OD=，∴4/4P1D=×OC=×=.②过点D作DP2⊥AB，则△BDP2∽△BCO，∴，∵BC＝∴.二、圆与四边形相结合例2（2009年德州市）如图3，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E．（1）求∠AEC的度数；ACDEBO图3l（2）求证：四边形OBEC是菱形．C分析：（1）易判定△AOC是等边

4、三角形，从而得∠AOC＝60°，再利用圆周角与与圆心角的关系可求∠AEC．（2）欲说明四边形OBEC是菱形，已具备一组邻边相等：OB＝OC，只需再证明四边形OBEC是平行四边形，即证OC∥BD，CE∥OB．解：（1）在△AOC中，AC=2，∵AO＝OC＝2，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°．∴∠AEC＝30°．（2）∵l为⊙O的切线，∴OC⊥l，又BD⊥l，∴OC∥BD．∴∠ABD＝∠AOC＝60°．∵AB为⊙O的直径，∴△AEB为直角三角形，∠EAB＝30°．∴∠EAB＝∠AEC．∴CE∥OD．∴四边形OBEC为平行四边形．又∵OB＝OC＝2，∴四边形OBEC是菱

5、形．三、圆与一元二次方程相结合例3（2009年梅州市）如图4，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3．点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB交于点F，过点F作FG⊥BE于点G．4/4（1）当E是CD的中点时：①tan∠EAB的值为________；②证明：FG是⊙O的切线；DEOCBGFA图4（2）试探究：BE能否与⊙O相切?若能，求出此时DE的长；若不能，请说明理由．分析：（1）欲求tan∠EAB，可转化为求∠DEA的正切值；（2）欲证FG是⊙O的切线，可考虑连接OF，证明FG⊥OF；（3）与（2）小题切线的判定不同，本小题较难直接判定BE能或不能与⊙O相切，正难则间，可

6、采用倒推法，即先假设BE能与⊙O相切，并以此为条件进行探索，看是否能求出DE的长，并以此作为BE能否与⊙O相切的判定依据．ABCyx图10O解：（1）①∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠DEA．在Rt△ADE中，DE＝DC＝AB＝，tan∠DEA＝＝．②在矩形ABCD中，AD＝BC，∠ADE＝∠BCE，又CE＝DE，∴△ADE≌△BCE，∴AE＝BE，∠EAB＝∠EBA，连OF，则OF＝OA，∴∠OAF＝∠OFA，∠OFA＝∠EBA，∴OF∥EB，∵FG⊥BE，∴FG⊥OF，∴FG是⊙O的切线．（2）若BE能否与⊙O相切，因AE是⊙O的直径，则AE⊥BE，∠AEB=30°，设DE＝

7、x，则EC＝5－x，由勾股定理得：AE2+EB2＝AB2，即(9+x)2+[(5－x)]2＝25，整理得x2+－5x+9＝0．∵b2－4ac＝25－36＝－11＜0，∴该方程无实数根．∴点E不存在，BE不能与⊙O相切．四、圆与三角函数相结合例4（2009年武汉市）如图2，中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）连接OC交DE于点F，若OF=CF，求tan∠ACO的值．CEBAO图5FDH分析：（1）欲证直线DE是⊙O的切