《1.3.1 利用导数判断函数的单调性》课件9

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1、《1.3.1利用导数判断函数的单调性》课件9第一章课堂典例探究2课时作业3课前自主预习1课前自主预习研究股票时，我们最关心的是股票的发展趋势(走高或走低)以及股票价格的变化范围(封顶或保底)．从股票走势曲线图来看，股票有升有降．在数学上，函数曲线也有升有降，就是我们常说的单调性．那么，函数的单调性与导数有什么关系呢？1.如何用定义判断函数的单调性？2．导数的几何意义是什么？答案：1.对于定义域A内某个区间M上的任意两个自变量的值x1、x2，当x2－x1>0时，都有f(x2)－f(x1)>0，则称函数

2、f(x)在区间M上是增函数；如果对于定义域A内某个区间M上的任意两个自变量的值x1、x2，当x2－x1>0时，都有f(x2)－f(x1)<0，那么就说函数f(x)在区间M上是减函数．2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即k＝f′(x0).1．由此我们得出用函数的导数判断函数单调性的法则：(1)如果在(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间内是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；(2)如果在(a，b)内，f′(x)<0，则f(x

3、)在此区间内是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间．如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)等于常数．如果函数y＝f(x)在x的某个开区间内，总有f′(x)>0，则f(x)在这个区间上严格递增，这时该函数在这个区间内为严格增函数；如果函数y＝f(x)在自变量x的某个开区间内，总有f′(x)<0，则f(x)在这个区间内为严格减函数．二、利用导数求函数的单调区间设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，则f(x)为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)为减函数；如果f′(x)＝0

4、，则f(x)为常数．一般情况下，函数在它的定义区间上不是单调的，对可导函数而言，它的单调递减和单调递增的区间分界点应是其导数符号正负交替的分界点，即在分界点处f′(x)＝0，为此，我们可以用使函数导数为0的点来划分函数的单调区间．利用导数求函数的单调区间的具体步骤是：①确定f(x)的定义域；②求导数f′(x)；③在函数定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；④确定f(x)的单调区间．注意：在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单

5、调区间，或直接解不等式f′(x)>0和f′(x)<0，求出f(x)的单调区间．如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间中间一般不能用“∪”连接，可用“逗号”或“和”字隔开．函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为()A．(－∞，－1]和[0,1]B．[－1,0]和[1，＋∞)C．[－1,1]D．(－∞，－1]和[1，＋∞)[答案]A已知：x>1，求证：x>ln(1＋x)．[答案]C[解析]题目所给出的是导函数的图象，导函数的图象在x轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；

6、导函数的图象在x轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由x∈(－∞，0)时导函数图象在x轴的上方，表示在此区间上，原函数的图象呈上升趋势，可排除B、D两选项．由x∈(0,1)时，图象在x轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除A选项．课堂典例探究求函数的单调区间求下列函数的单调区间(1)f(x)＝x3－3x＋1；(2)f(x)＝3x2－2lnx.利用导数证不等式已知m，n∈N＋，且1(1＋n)m.[分析]由题目可获取以下主要信息：①已知变量

7、m，n的取值范围．②证明与该变量有关的不等式．由于不等号两边的式子形式上具有联系，解答本题可考虑利用函数的性质处理．求参数的取值范围已知函数f(x)＝2ax－x3，x∈(0,1]，a>0，若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围．[辨析]参数在函数解析式中，可转化为不等式恒成立问题．一般地，函数f(x)在区间Ⅰ上单调递增(递减)；等价于不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间Ⅰ上恒成立，然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围．