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1、对称性与群论彭阳,张一鸣,徐余颛,王越超(北京大学化学与分子工程学院北京100871)摘要文章详细地给出了对称性和群论中的基本概念、原理,进行了分析和讨论,列举了大量实例来化抽象为形象,并且讲解这些理论的应用。力图通过对这些理论的介绍,使读者能够对对称性和群论有较为深入的了解。关键词对称性群分子点群特征标矩阵轨道SymmetryandGroupTheoryPENGYang,ZHANGYi-ming,XUYu-zhuan,WANGYue-chao(CollegeofChemistryandMoleculeEng
2、ineering,PekingUnivercity,Beijing100871,China)AbstractThefundamentaldefinitionsandprincipleswhicharegivenbythisthesisparticularly,areanalyzedanddiscussed.Theapplicationsofthetheoreticsareillustratedwiththeexamplesandinstancesenumeratedinquantity,whichconver
3、ttheabstractintovisualization,tryinghardtomakethereadersapprehendtheSymmetryandGroupTheorybyexplainingthesetheories.KeywordsSymmetry;Group;MoleculerSymmetry;CharacterTables;Matrix;Orbit在化学的发展进程中,对称性和原子在空间中的分布这样两个概念,一直是紧密地结合在一起的,而且对称性概念在这样的结合中也曾不断有所阐发。十九世纪三十
4、年代,群论一经问世,对称性概念不久就开始与它合流。今天,以群论为基础的对称性原理,已经成为学习和研究结构化学理论的一个得力工具。本文在简要介绍对称性与群论的概念基础上,耕读的关注对称性与群论在化学上的应用1对称操作和对称元素物体以及图象(物体的图形表示)的对称性,可定义为经过某一不改变其中任何两点间距离的操作后能复原的性质,即进行这种操作后,图象中原来在某处有什么,现在于该处还仍然有什么。这样的操作称为对称操作,而赖以进行对称操作的几何元素如点、线、面等叫做对称元素。对称操作又可分为点操作和空间操作,所谓点操
5、作,是指操作进行时,图象中至少有一个点(质量重心)不动,而进行空间操作时,图象中每个点都有移动。点操作适用于组成有限的物体或分子;空间操作适用于无限的点阵或晶体结构。1.1对称面和反映如果以一个图象被一个面等分为两半,任一半中的每个点通过此平面的反映后,能在另一半(映象)中与其相同的点重合,则称此面为该图形的对称面,以σ表示。据此而进行的反映操作叫做对称面反映操作或简称反映。例如,正八面体共有九个对称面(如图1.1)。首先有三个平面属于同一类型,即包含下列各组原子的那些平面:ABCGE、ACFED、ABDGF
6、。其次还有六个平面属于第二种类型,其中之一包含ABG并且平分C—D和F—E联线,第二个包含ADF并且平分B—E和C—G联线,第三个包含ACE并且平分B—D和F—G联线。BDEσACF图1.2G图1.11.2反演和反演中心从物体(图象)中任一点至物体中心连一直线,如果在其延长线的相等距离处存在有相同的点,并且对物体中所有的点都成立,则此物体(图象)具有反演中心i。通过反演中心使图象复原的操作叫反演。如图1.2,就是一个反演操作。1.3真轴与真转动如果某个图象绕一轴旋转2π/n角后能够复原,即新图象与原图象能重合
7、,就称此操作为真转动操作。上述旋转所围绕的轴就称作n阶真轴,记作Cn。真转动操m作用C表示,其中n为阶数,m为旋转2π/n的次数n1(Cn常记为Cn)例如图1.1,一条垂直于等边三角形的平面,并于它的几何中心相交的线就是这个三角形的C3真转动轴。将三角形绕这个轴转动2π/3时,三角形S4进入一个等价构型。构型II和III等价于I,因为如果不带有标号(这些标号不是实际存在的,而仅仅是代表我们想象的结构),他们与I是不可能区别的,但是带有标号就可能区别了。然而,IV不论带不带标号,都不可能和I相区别。因而它不仅是
8、等价的,而且是恒等的。图1.41.4非真轴和非真转动非真转动可以想象为按照两个步骤发生:首先是真转动,然后通过垂直于转动轴的平面反映。实现这一过程所对应的轴称为非真转动轴,或简称非真轴,并用记号Sn表示,此处mmn仍旧表示阶。非真转动2π/n的操作用S表示,与C类似。图1.4画出的是一个正四面nn体分子的一个S4轴。2群与分子点群2.1群的定义群是按照某种规律相互联系着的一些元素的集合。元素的个数叫
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