《平方根》典型例题

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1、《平方根》典型例题例1说出一个正数的算术平方根与平方根的区别与联系．解（1）一个正数的平方根有两个，这两个平方根互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根．（2）一个数的算术平方根与平方根的平方都等于这个数．例2如图，把12个边长为1cm的正方形拼在一起．（1）算出A点到B、C、D、E、F之间的长度．（2）以图中A、B、C、D、E、F中的三个点为顶点的三角形中有没有等腰三角形？如果有写出这些三角形，并说明它们为什么是等腰三角形．“分析利用勾股定理可以算出A点与C、D、E、F各点的距离．（2）找到某一点到另外两个点的距离相等，就可以确定由这三个点为顶点的三角形是等腰三角形．解（1）c

2、m．cm．cm．cm．cm．（2）图中是等腰三角形，因为cm，因此是等腰三角形．又因为cm，因此是等腰三角形．例3在直角三角形中，是两条直角边，c为斜边，若，求c的长（精确到0.01）分析根据勾股定理，代入相关的数据，利用求平方根的方法可求出c的值．解，且，∴．例4求下列各数的平方根．（1）9（2）（3）0.81解：（1）∵　　　　∴9的平方根是，即．（2）∵，，∴的平方根是，即（3）∵∴0.81的平方根是，即．说明：①命题目的：给出一个正数，会求出平方根．②解题关键：一个正数有两个平方根并互为相反数．③错解剖析：容易犯漏掉负的平方根的错误．例5求下列各数的平方根和算术平方根．（

3、1）0.0064（2）（3）　　　　（4）解答（1）因为，所以0.0064的平方根是算术平方根是0.08．（2）因为，而，所以的平方根是，它的算术平方根是．（3）因为，而，所以的平方根是，它的算术平方根是．（4）因为，而，所以的平方根是，它的算术平方根是7．说明本题考查求平方根和求算术平方根的方法．因为一个正数的平方根有两个，不要遗漏负的平方根．当被开方数是带分数时，应把带分数化为假分数，然后再求平方根，当被开方数是一个数字算式时，要先算出这算式的值，再求它的平方根，不这样做，容易造成错误．例如，说平方根是，就错了．例6求下列各式中的x：（1）（2）．分析根据平方根的定义，或，则

4、，其中（2）中看成一个整体，先求出的值，再求x的值．解答：（1）∵，即．∴．（2）∵，∴，当时，；当时，．例7已知，且x是正数，求代数式的值．分析只要求出x的值，代入代数式就可以了，关键是解已知方程．解答1：由得，∴，又∵，∴．当时，解答2由，得，即，∴．把代入，得例8如果，求的值．分析已知条件是含三个未知数的等式，一般很难求出未知数的值，但注意到算术平方根非负这一条件可解．解答∵∴∵∴应有解得说明求解本题的关键抓住了算术平方根非负这一隐含条件，如果若干个非负数的和为零，则每个非负数都必须为零．例9选择题：下列命题（1）（2）（3）的平方根是；（4）的算术平方根是；（5）是的平方

5、根；（6）0的平方根是0，0没有算术平方根；（7）的算术平方根是.中真命的个数是（）.（A）1（B）2（C）3（D）4分析：判断上述命题的真假，要依靠各自本身的定义.（1）不是的算术平方根.故（1）是假命题.（2）题中是算术平方根，其结果是唯一的，不可能是两个值，所以（2）也是假命题.（3）题中，由平方根性质：负数没有平方根.所以（3）也是假命题.（4）中的算术平方根应是正数，而是个负数，不符合算术平方根的定义.故（4）也是假命题.（5）的平方根是.此为真命题.（6）0的平方根0就是0的算术平方根，故（6）题也不正确.（7）求的算术平方根，应是对进行开方运算，而非平方运算.故此命

6、题也不是真命题.解答：应选（A）说明：平方根、算术平方根是非常重要的概念.其共同点：平方根和算术平方根都是对非负数的开方运算，0的平方根和算术平方根都只有一个0；其不同点是：一个正数的平方根有两个，两算术平方根只有一个；它们的联系是：算术平方根是平方根中的正的平方根.例10如果一个数的平方根是与，那么这个数是多少？分析：首先我们观察题目中给出的是一个正数的两个平方根，根据平方根的性质可知它们互为相反数，其和为0.解答：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以，解得,当时，，即两个平方根分别为7和，故原数为49说明：关键抓住一个正数的两个平方根的性质，转化为求方程的解.