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时间:2019-05-13
《弹簧模型与细线模型的暂态问题探讨》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、弹簧模型和细线模型的暂态问题探讨元济高级中学(314300)钱少林单纯的一个弹簧或一根细线,并无多大的物理意义——至少在动力学方面如此。我们遇到的往往是弹簧或细线与物体的结连体问题,分析它们中的弹力或连结体的运动情况,特别是在某些情况下二者(弹簧强细线)的不同表现,才是我们感兴趣的地方,也是本文试图探讨的问题。为简便计,在此姑且把这类用弹簧和细线(轻绳等)的连结体问题归结为弹簧模型和细线模型,在外界条件突变时(如外力的突然产生或突然变化),它们达到最终稳定状态前的过程称之为暂态过程。一、两种模型的统一我们知道,一切物体在外力作用下都会或多或少地发生形变,并且在弹性形变状态下
2、对所接触的其它物体施以弹性力,其大小决定于该形变物体的性质(材料、结构等)以及所发生的形变特征和大小。在连结体问题中,弹簧和细线是常见的构件,它们的形变及弹力正是我们经常关注的对象。一般地,弹簧在受到一定的拉力、压力时,发生较明显的形变,且形变和弹力的关系(在弹性限度内)遵守胡克定律f=K·ΔX。细线或柔软的绳,在拉伸形变时,发生的形变比较小,但其形变和弹力的关系同样可以认为遵守胡克定律,只不过劲度系数K大小不同而已。劲度系数K是由其材料、结构特性所决定的。为避免弹簧或细线自身有质量带来的各处弹力不等造成问题的复杂化,又能不失模型的内涵,两种模型中,弹簧或线、绳均以“轻质”
3、为例,不计质量。对于弹簧的连结体模型,我们自然首先想到的是弹簧振子,想到简谐振动。在此,我们也不妨从分析竖向的弹簧振子的运动开始。设在一轻质弹簧下面系一重物质量为m,则我们知道平衡时弹簧已伸长ΔX0=mg/K,如图1所示,设O为现在的平衡位置。现若把重物再拉下距离A后由静止释放(设在弹性限度内),则我们也知道,在不考虑磨擦及空气阻力情况下,重物将在平衡位置O两侧作振幅为A的简谐振动,圆频率为ω=,周期为T=2л。如设向下方向为正方向,O为原点,则位移随时间的变化关系为:X=Acosωt=Acost据此我们反过来推知回复力F=-KX=-KAcost我们所关注的弹簧中的弹力f据
4、:F=㎎+f有f=F-㎎=-KAcost-KΔX0=-K(ΔX0+Acost)其中ΔX0+Acost正是弹簧对原长的形变量,可记为△X,即:△X=ΔX0+Acost,f=-K△X可见,形变量△X、弹力f都是关于时间t的函数(其中负号表示弹力的方向与位移的方向反向),它们都随时间作周期性变化。若问题中把此弹簧换成一弹性细绳,成为“细线模型”,而其它情况不变,则放手后又如何呢?显然作为弹性细线,使得重物在细线原长的下方就象在弹簧下面一样作振动(平衡位置也在细线原长位置下方ΔX0=mg/K处,K为细线的劲度系数),而回到细线原长处后,细线开始松驰,重物作竖直上抛运动,到最高点后再
5、自由下落至原长处,又进入振动状态。如此重复进行,其下部分的振动和弹簧模型的下部分完全一样,只不过一般因K很大,而振动频率(ω、f)很大,振动很快而已。实际上,由于摩擦、介质阻力的存在,特别是线、绳的非弹性压缩阻力的影响,这种振动(或叠合上抛的运动)将不断衰减,直至最后停止或达到稳态。所以这里的衰减振动(或称无阻尼振动、减幅振动)只不过是外界条件突变后引起的一个暂态过程,是进入稳态前的一个过度过程。暂态过程的长短决定于振动能量衰减的快慢,而这除与受到的阻力大小有关以外,还决定于振动的快慢——振动频率(ω、f)的大小。频率大、振动快,振动衰减也快,暂态过程短,频率小,振动衰减也
6、慢,暂态过程长。正如前面所述,我们已经知道,振动圆频率ω=。对于相同的振动小球,圆频率主要决定于劲度系数K的大小。对弹簧振子,由于K总是一个有限的定值(在弹性限度内),所以振动圆频率ω有限,振动衰减的暂态过程就相对较长,足以观察和分析而不能视而不见或忽略不计。由位置或形变的连续性可知(由前面所得△X、f表达式)当时,△X=(ΔX0+Acost)=ΔX0+Af=-K(Acost-KΔX0)=-K(ΔX0+A)可见,在刚突变(放手——拉力突然撤去)的瞬间,也即暂态开始时,弹簧的形变量及其弹力均保持突变前的量值或特性。这就是弹簧模型的特征。如果其它条件不变,仅增大劲度系数K,则ω
7、、f增大,振动加快,结果是振动衰减也快,暂态过程就变短。当时,ω,,相当于振动极快而振动衰减也极快,即振幅A很快地趋于零,以致这种振动实际很难观察到,暂态过程极短,即可忽略暂态过程而直接进入稳态。因此,在放手瞬间时,形变、弹力即可认为突变至稳态情形——重物静止、弹力f=mg、形变△X=ΔX0=mg/K。与弹簧模型已全然不同,此为“细线模型”。由有限的劲度系数到劲度系数,已完成了从弹簧模型到不可伸长的细线模型(一般题意中,不可伸长即意味着)的演变。二、两种模型的区别由上可知,弹簧模型和细线模型的联系统一可从劲度系数K
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