弹簧模型和细线模型的暂态问题探讨

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1、弹簧模型和细线模型的暂态问题探讨元济高级中学（314300）钱少林单纯的一个弹簧或一根细线，并无多大的物理意义——至少在动力学方面如此。我们遇到的往往是弹簧或细线与物体的结连体问题，分析它们中的弹力或连结体的运动情况，特别是在某些情况下二者（弹簧强细线）的不同表现，才是我们感兴趣的地方，也是本文试图探讨的问题。为简便计，在此姑且把这类用弹簧和细线（轻绳等）的连结体问题归结为弹簧模型和细线模型，在外界条件突变时（如外力的突然产生或突然变化），它们达到最终稳定状态前的过程称之为暂态过程。一、两种模型的统一我们知道，一切物体在外力作用下都

2、会或多或少地发生形变，并且在弹性形变状态下对所接触的其它物体施以弹性力，其大小决定于该形变物体的性质（材料、结构等）以及所发生的形变特征和大小。在连结体问题中，弹簧和细线是常见的构件，它们的形变及弹力正是我们经常关注的对象。一般地，弹簧在受到一定的拉力、压力时，发生较明显的形变，且形变和弹力的关系（在弹性限度内）遵守胡克定律f=K·ΔX。细线或柔软的绳，在拉伸形变时，发生的形变比较小，但其形变和弹力的关系同样可以认为遵守胡克定律，只不过劲度系数Ｋ大小不同而已。劲度系数Ｋ是由其材料、结构特性所决定的。为避免弹簧或细线自身有质量带来的各

3、处弹力不等造成问题的复杂化，又能不失模型的内涵，两种模型中，弹簧或线、绳均以“轻质”为例，不计质量。对于弹簧的连结体模型，我们自然首先想到的是弹簧振子，想到简谐振动。在此，我们也不妨从分析竖向的弹簧振子的运动开始。设在一轻质弹簧下面系一重物质量为m，则我们知道平衡时弹簧已伸长ΔX0=mg/K,如图1所示，设O为现在的平衡位置。现若把重物再拉下距离A后由静止释放（设在弹性限度内），则我们也知道，在不考虑磨擦及空气阻力情况下，重物将在平衡位置O两侧作振幅为A的简谐振动，圆频率为ω＝，周期为Ｔ＝2л。如设向下方向为正方向，Ｏ为原点，则位移

4、随时间的变化关系为：Ｘ＝Ａcosωt＝Ａcost据此我们反过来推知回复力Ｆ＝-ＫＸ＝-ＫＡcost我们所关注的弹簧中的弹力f据:Ｆ＝㎎+f有f＝Ｆ－㎎＝-ＫＡcost－ＫΔＸ0＝-K(ΔＸ0+Ａcost)其中ΔＸ0+Ａcost正是弹簧对原长的形变量,可记为△X,即:△X＝ΔＸ0+Ａcost，f＝-Ｋ△X可见,形变量△X、弹力ｆ都是关于时间t的函数(其中负号表示弹力的方向与位移的方向反向)，它们都随时间作周期性变化。若问题中把此弹簧换成一弹性细绳，成为“细线模型”，而其它情况不变，则放手后又如何呢？显然作为弹性细线，使得重物在细线原长

5、的下方就象在弹簧下面一样作振动（平衡位置也在细线原长位置下方ΔＸ0=mg/K处，K为细线的劲度系数），而回到细线原长处后，细线开始松驰，重物作竖直上抛运动，到最高点后再自由下落至原长处，又进入振动状态。如此重复进行，其下部分的振动和弹簧模型的下部分完全一样，只不过一般因K很大，而振动频率（ω、ｆ）很大，振动很快而已。实际上，由于摩擦、介质阻力的存在，特别是线、绳的非弹性压缩阻力的影响，这种振动（或叠合上抛的运动）将不断衰减，直至最后停止或达到稳态。所以这里的衰减振动（或称无阻尼振动、减幅振动）只不过是外界条件突变后引起的一个暂态过程

6、，是进入稳态前的一个过度过程。暂态过程的长短决定于振动能量衰减的快慢，而这除与受到的阻力大小有关以外，还决定于振动的快慢——振动频率（ω、ｆ）的大小。频率大、振动快，振动衰减也快，暂态过程短，频率小，振动衰减也慢，暂态过程长。正如前面所述，我们已经知道，振动圆频率ω＝。对于相同的振动小球，圆频率主要决定于劲度系数K的大小。对弹簧振子，由于K总是一个有限的定值（在弹性限度内），所以振动圆频率ω有限，振动衰减的暂态过程就相对较长，足以观察和分析而不能视而不见或忽略不计。由位置或形变的连续性可知（由前面所得△X、f表达式）当时，△X＝（Δ

7、Ｘ0+Ａcost）＝ΔＸ0+Ａf＝-Ｋ(Ａcost－ＫΔＸ0)＝-Ｋ(ΔＸ0+Ａ)可见，在刚突变（放手——拉力突然撤去）的瞬间，也即暂态开始时，弹簧的形变量及其弹力均保持突变前的量值或特性。这就是弹簧模型的特征。如果其它条件不变，仅增大劲度系数Ｋ，则ω、ｆ增大，振动加快，结果是振动衰减也快，暂态过程就变短。当时，ω，，相当于振动极快而振动衰减也极快，即振幅A很快地趋于零，以致这种振动实际很难观察到，暂态过程极短，即可忽略暂态过程而直接进入稳态。因此，在放手瞬间时，形变、弹力即可认为突变至稳态情形——重物静止、弹力f=mg、形变△X＝

8、ΔX0＝mg/K。与弹簧模型已全然不同，此为“细线模型”。由有限的劲度系数到劲度系数，已完成了从弹簧模型到不可伸长的细线模型（一般题意中，不可伸长即意味着）的演变。二、两种模型的区别由上可知，弹簧模型和细线模型的联系统一可从劲度系数K