弹簧模型和细线模型的暂态问题探讨

弹簧模型和细线模型的暂态问题探讨

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时间:2018-08-07

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1、弹簧模型和细线模型的暂态问题探讨元济高级中学(314300)钱少林单纯的一个弹簧或一根细线,并无多大的物理意义——至少在动力学方面如此。我们遇到的往往是弹簧或细线与物体的结连体问题,分析它们中的弹力或连结体的运动情况,特别是在某些情况下二者(弹簧强细线)的不同表现,才是我们感兴趣的地方,也是本文试图探讨的问题。为简便计,在此姑且把这类用弹簧和细线(轻绳等)的连结体问题归结为弹簧模型和细线模型,在外界条件突变时(如外力的突然产生或突然变化),它们达到最终稳定状态前的过程称之为暂态过程。一、两种模型的统一我们知道,一切物体在外力作用下都

2、会或多或少地发生形变,并且在弹性形变状态下对所接触的其它物体施以弹性力,其大小决定于该形变物体的性质(材料、结构等)以及所发生的形变特征和大小。在连结体问题中,弹簧和细线是常见的构件,它们的形变及弹力正是我们经常关注的对象。一般地,弹簧在受到一定的拉力、压力时,发生较明显的形变,且形变和弹力的关系(在弹性限度内)遵守胡克定律f=K·ΔX。细线或柔软的绳,在拉伸形变时,发生的形变比较小,但其形变和弹力的关系同样可以认为遵守胡克定律,只不过劲度系数K大小不同而已。劲度系数K是由其材料、结构特性所决定的。为避免弹簧或细线自身有质量带来的各

3、处弹力不等造成问题的复杂化,又能不失模型的内涵,两种模型中,弹簧或线、绳均以“轻质”为例,不计质量。对于弹簧的连结体模型,我们自然首先想到的是弹簧振子,想到简谐振动。在此,我们也不妨从分析竖向的弹簧振子的运动开始。设在一轻质弹簧下面系一重物质量为m,则我们知道平衡时弹簧已伸长ΔX0=mg/K,如图1所示,设O为现在的平衡位置。现若把重物再拉下距离A后由静止释放(设在弹性限度内),则我们也知道,在不考虑磨擦及空气阻力情况下,重物将在平衡位置O两侧作振幅为A的简谐振动,圆频率为ω=,周期为T=2л。如设向下方向为正方向,O为原点,则位移

4、随时间的变化关系为:X=Acosωt=Acost据此我们反过来推知回复力F=-KX=-KAcost我们所关注的弹簧中的弹力f据:F=㎎+f有f=F-㎎=-KAcost-KΔX0=-K(ΔX0+Acost)其中ΔX0+Acost正是弹簧对原长的形变量,可记为△X,即:△X=ΔX0+Acost,f=-K△X可见,形变量△X、弹力f都是关于时间t的函数(其中负号表示弹力的方向与位移的方向反向),它们都随时间作周期性变化。若问题中把此弹簧换成一弹性细绳,成为“细线模型”,而其它情况不变,则放手后又如何呢?显然作为弹性细线,使得重物在细线原长

5、的下方就象在弹簧下面一样作振动(平衡位置也在细线原长位置下方ΔX0=mg/K处,K为细线的劲度系数),而回到细线原长处后,细线开始松驰,重物作竖直上抛运动,到最高点后再自由下落至原长处,又进入振动状态。如此重复进行,其下部分的振动和弹簧模型的下部分完全一样,只不过一般因K很大,而振动频率(ω、f)很大,振动很快而已。实际上,由于摩擦、介质阻力的存在,特别是线、绳的非弹性压缩阻力的影响,这种振动(或叠合上抛的运动)将不断衰减,直至最后停止或达到稳态。所以这里的衰减振动(或称无阻尼振动、减幅振动)只不过是外界条件突变后引起的一个暂态过程

6、,是进入稳态前的一个过度过程。暂态过程的长短决定于振动能量衰减的快慢,而这除与受到的阻力大小有关以外,还决定于振动的快慢——振动频率(ω、f)的大小。频率大、振动快,振动衰减也快,暂态过程短,频率小,振动衰减也慢,暂态过程长。正如前面所述,我们已经知道,振动圆频率ω=。对于相同的振动小球,圆频率主要决定于劲度系数K的大小。对弹簧振子,由于K总是一个有限的定值(在弹性限度内),所以振动圆频率ω有限,振动衰减的暂态过程就相对较长,足以观察和分析而不能视而不见或忽略不计。由位置或形变的连续性可知(由前面所得△X、f表达式)当时,△X=(Δ

7、X0+Acost)=ΔX0+Af=-K(Acost-KΔX0)=-K(ΔX0+A)可见,在刚突变(放手——拉力突然撤去)的瞬间,也即暂态开始时,弹簧的形变量及其弹力均保持突变前的量值或特性。这就是弹簧模型的特征。如果其它条件不变,仅增大劲度系数K,则ω、f增大,振动加快,结果是振动衰减也快,暂态过程就变短。当时,ω,,相当于振动极快而振动衰减也极快,即振幅A很快地趋于零,以致这种振动实际很难观察到,暂态过程极短,即可忽略暂态过程而直接进入稳态。因此,在放手瞬间时,形变、弹力即可认为突变至稳态情形——重物静止、弹力f=mg、形变△X=

8、ΔX0=mg/K。与弹簧模型已全然不同,此为“细线模型”。由有限的劲度系数到劲度系数,已完成了从弹簧模型到不可伸长的细线模型(一般题意中,不可伸长即意味着)的演变。二、两种模型的区别由上可知,弹簧模型和细线模型的联系统一可从劲度系数K

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