《3.4.1函数与方程（1）》课件1

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1、高中数学·必修1·苏教版3．4函数的应用3．4.1函数与方程第1课时　函数的零点[学习目标]1．理解函数零点的定义，会求函数的零点．2．掌握函数零点的判定方法．3．了解函数的零点与方程的根的联系．[知识链接]考察下列一元二次方程与对应的二次函数：(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1；(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标吗？答案方程x2－2x－3＝0x2－2x＋1＝0x2－2x＋3＝0函数y＝x2－2x－3y＝x2－2x＋1y＝x2－2x＋3函

2、数的图象方程的实数根x1＝－1，x2＝3x1＝x2＝1无实数根函数的图象与x轴的交点(－1，0)、(3，0)(1，0)无交点[预习导引]1．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的．2．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．实数根横坐标3．对于不能用公式法求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与函数y＝f(x)联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根．4．函数零点的存在性的判定方法：如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且有f(a)·f(b)，那么y＝f(

3、x)在区间(a，b)上有零点.＜0规律方法　求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．跟踪演练1判断下列说法是否正确：(1)函数f(x)＝x2－2x的零点为(0，0)，(0，2)；(2)函数f(x)＝x－1(2≤x≤5)的零点为x＝1.解(1)函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所以函数f(x)＝x2－2x的零点为x＝0和x＝2，故(1)错．(2)虽然f(1)＝0，但1∉[2，5]，即1不在函数f(x)＝x－1的定义域内，所以函数在定义域[2，5]内无零

4、点，故(2)错．答案　③规律方法1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象．2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f(x)图象在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点．跟踪演练2下列四个区间中，包含函数f(x)＝ex＋x－2零点的一个区间是________．①(－2，－1)②(－1，0)③(0，1)④(1，2)答案③解析∵f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，∴f(x)在(0，1)内有零点．

5、要点三　判断函数零点的个数例3判断函数f(x)＝lnx＋x2－3的零点的个数．解　法一　函数对应的方程为lnx＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有一个交点．从而lnx＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝lnx＋x2－3有一个零点．法二　由于f(1)＝ln1＋12－3＝－2＜0，f(2)＝ln2＋22－3＝ln2＋1＞0，∴f(1)·f(2)＜0，又f(x)＝lnx＋x2－3的图象在(1，2)上是不间断的，所以f(x)在(1，2)上必有零点，又f(x)

6、在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．规律方法　判断函数零点个数的方法主要有：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数．再见