3.4.1函数与方程

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1、3.4.1函数与方程一、基础过关1.函数f(x)=xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为______2.为了求函数f(x)=2x-x2的一个零点,某同学利用计算器,得到自变量x和函数值f(x)的部分对应值(精确到0.01)如下表所示:x0.61.01.41.82.22.63.0f(x)1.161.000.680.24-0.25-0.70-1.00[来源:学+科+网]则函数f(x)的一个零点所在的区间是________.3.“a>1”是“函数f(x)=ax-1-2(a>0且a≠1)在区间[1,2]上存在零点

2、”的____条件.4.函数f(x)=ex+3x的零点个数是_____5.已知关于x的方程xlnx=ax+1(a∈R),下列说法正确的是_______(A)有两不等根(B)只有一正根(C)无实数根(D)不能确定6.对于函数f(x)=x

3、x

4、+px+q,现给出四个命题,其中所有正确命题的序号是______①q=0时,f(x)为奇函数;②y=f(x)的图象关于点(0,q)对称;③p=0,q>0时,f(x)有且只有一个零点;④f(x)至多有2个零点.二、能力提升7.函数f(x)=的零点个数是　　　　. 8.函数f(x

5、)=3x-7+lnx的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则n=　　　　. 9.已知0

6、4

7、x-x2

8、+a有4个零点,求实数a的取值范围.答案；1.6解析:令f(x)=0,得x=0或cosx2=0,因为x∈[0,4],所以x2∈[0,16].由于=0(k∈Z),故当x2=时,cosx2=0.所以零点个数为6.2.(1.8,2.2)3.必要不充分条件解析:若f(x)=ax-1-2在[1,2]上存在零点,则f(1)·f(2)<0,∴-1·(a-2)<0,∴a>2,则必有a>1,但a>1推不出a>2,∴“a>1”是“f(x)在[1,2]上存在零点”的必要不充分条件.4.1解析:易知f(x)=ex+3x在R

9、上单调递增,又∵f(-1)=e-1-3<0,f(1)=e+3>0,∴函数只有一个零点.5.B解析:由xlnx=ax+1(a∈R)知x>0,∴lnx=a+,作出函数y1=lnx与y2=a+的图象,易知选B.6.①②③解析:当q=0时,f(x)=x(

10、x

11、+p),显然是奇函数,故①正确;由于g(x)=x(

12、x

13、+p)是奇函数,图象关于原点对称,q≠0时,f(x)=g(x)+q的图象由g(x)的图象向上(或向下)平移

14、q

15、个单位得到,所以f(x)的图象关于点(0,q)对称,故②正确;当p=0,q>0时,由f(x)=

16、x

17、x

18、+q=0可得x=-,只有一个根,函数只有一个零点,故③正确;当p<0,q=0时,函数f(x)=x

19、x

20、+px有三个零点0,p,-p,所以④错误.7.解析:函数定义域是(3,+∞),且由f(x)=0得x=2或x=1,但1∉(3,+∞),2∉(3,+∞),故f(x)没有零点.答案:08.解析:由于f(1)=-4<0,f(2)=ln2-1<0,f(3)=2+ln3>0,所以零点在区间(2,3)内,故n=2.[来源:Z,xx,k.Com]答案:29.解析:函数g(x)=f(x)-k有两个零点,即f(x)-k=

21、0有两个解,即y=f(x)与y=k的图象有两个交点.分k>0和k<0作出函数f(x)的图象.当01或k<0时,没有交点,故当00时,令f'(x)>0,得00,得

22、x)的单调递增区间为.综上所述,当a=0时,函数f(x)没有单调递增区间;当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为;当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为.(2)由(1)知,a∈[3,4]时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为(-∞,0)和.所以函数f(x)在x=0处取得极小值f(0)=b,函数f(x)在x=处取得极大值f（）=+b.由于对任意a∈[3,4],函数f(x)在R上都有3个零点.