3.4.1函数与方程1

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1、§3.4.1函数与方程方程f(x)=0的实数根函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点.函数的零点是数不是点方程f(x)=0的实数根函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标函数y=f(x)的零点函数零点方程根，形数本是同根生。形数2（代数法）求零点的步骤：(1)令f(x)=0;(2)解方程f(x)=0；(3)写出零点1（图象法）找出函数图象与x轴的横坐标思考2：判断下列函数的零点的个数：(1)y=2x-3；(2)y=0.5x；(3)y=-x2+x+20；(4)y=(x-1)(x2-3x+1)

2、；(5)y=(x2-2)(x2-3x+2).讲义例2:如图，这是一个二次函数y=f(x)的图象：（1）写出这个二次函数的零点；（2）写出这个二次函数的解析式；（3）分别比较f(-4)*f(-1),f(0)*f(2)与0的大小关系.观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：在区间[-2，1]上有零点______；f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)_____0（“＜”或“＞”）．在区间(2，4)上有零点______；f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）．－1－45<3<探究:2-2-41O1-2234-3-1-1yx思

3、考6:在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a,b]上存在零点？零点存在性的探究：发现：函数零点的左右两侧函数值乘积小于0观察函数的图象并填空:①在区间(a,b)上f(a)·f(b)_____0(“＜”或“＞”)．在区间(a,b)上______(有/无)零点；②在区间(b,c)上f(b)·f(c)_____0(“＜”或“＞”)．在区间(b,c)上______(有/无)零点；③在区间(c,d)上f(c)·f(d)_____0(“＜”或”＞”)．在区间(c,d)上______(有/无)零点；有<有<有

4、(x)在区间[a,b]上存在零点？由特殊函数到一般函数f(x)在函数零点的左右两侧函数值乘积小于0函数零点存在性定理：xyOxyObaabcc如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点．即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根．如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点．即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0

5、的根．函数零点存在性定理：xyObacxyOabcxyObacxyOabc练习判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（）（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（）（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（）练习判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，

6、且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（）（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（）（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（）abOxyabOxyabOxy画图象举反例：例1：零点存在性定理的应用：变题(1)求证：函数f(x)=x3+x2+1在区间（-2，1）上存在零点.(2)求证：判断f(x)=x2-2x-1在区间（2，3）上是否存在零点.(3)求证：无论a取什么实数，二次函数y=x2+

7、ax+a-2都有两个零点x1、x2（x1