《1.4 数学归纳法》课件

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1、第一章《1.4数学归纳法》课件知能目标解读1知能自主梳理2学习方法指导3思路方法技巧4探索延拓创新5易错辨误警示6课堂巩固训练7知能目标解读1．了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证明命题的步骤与格式．2．能够利用数学归纳法证明代数恒等式和不等式．3．能够利用数学归纳法解决整除性问题和几何中的计算问题．本节重点：数学归纳法证明命题的步骤与格式．本节难点：数学归纳法第二步证明中使用归纳假设．知能自主梳理1．数学归纳法的概念及基本步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是：(1)验证：_________时，命题成立；

2、(2)在___________________________的前提下，推出_____________时，命题成立．根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立．n＝1假设当n＝k(k≥1)时命题成立当n＝k＋12．归纳推理与数学归纳法的关系数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与______________的命题；(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤________________．正整数n有关缺一不可学习方法指导1．用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的

3、最小正整数n，注意n不一定是1.2．当证明从k到k＋1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对n＝k＋1成立时，必须运用命题对n＝k成立的归纳假设．步骤二中，在由k到k＋1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论．关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时命题形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n＝k＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法．3．用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．尽管部分与正整数有关的命题用其他方法也

4、可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确．4．要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力．5．数学归纳法与归纳推理不同．(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．结果不一定正确，需要进行严格的证明．(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确．6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题，要求这个命题对所有的正

5、整数n都成立；(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题．思路方法技巧证明等式[点评]在推证“n＝k＋1”命题也成立时，必须把“归纳假

6、设”n＝k时的命题，作为必备条件使用上，否则不是数学归纳法．证明不等式(2)应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤：第①步p(n0)成立是推理的基础，第②步由p(k)⇒p(k＋1)是推理的依据(即n0成立，则n0＋1成立，n0＋2成立，…，从而断定命题对所有的自然数均成立)．另一方面，第①步中，验证n＝n0中的n0未必是1，根据题目要求，有时可为2，3等；第②步中，证明n＝k＋1时命题也成立的过程中，要作适当的变形，设法用上上述归纳假设.[分析]按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．证

7、明整除问题[证明](1)当n＝1时，3×53＋24＝391＝17×23是17的倍数．假设3×52k＋1＋23k＋1＝17m(m是整数)，则3×52(k＋1)＋1＋23(k＋1)＋1＝3×52k＋1＋2＋23k＋1＋3＝3×52k＋1×25＋23k＋1×8＝(3×52k＋1＋23k＋1)×8＋17×3×52k＋1＝8×17m＋3×17×52k＋1＝17(8m＋3×52k＋1)，∵m、k都是整数，∴17(8m＋3×52k＋1)能被17整除，即n＝k＋1时，3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数．(2)令f(n)＝(3n＋1)·7n－1①f(1)＝4×7－

8、1＝27能被9整除．②假设f(k)能被9整除(k∈N*)，∵f(k＋1)－f(k)＝(3k＋4)·7k＋1－