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《高中数学第一章推理与证明1.4数学归纳法课件.pptx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§1.4数学归纳法数学归纳法(1)定义:数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.(2)证明步骤①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时,命题成立;②在假设当n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立的前提下,推出当n=k+1时,命题成立.根据①②可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.(3)证明依据:数学归纳法能保证命题对所有的正整数都成立,因为根据①,验证了当n=1时命题成立;根据②可知,当n=1+1=2时命题成立,由于n=2时命题成立,再根据②可知,当n=2+1=3时命题也成立,这样递推下去,就可以知道当n=4,5,
2、…时命题成立,即命题对任意正整数n都成立.名师点拨应用数学归纳法的注意事项(1)数学归纳法的两个步骤缺一不可.步骤①是命题论证的基础,步骤②是判断命题的正确性能否递推下去的保证.这两个步骤缺一不可,若只有步骤①缺少步骤②,则无法判断n=k(k>n0)时命题是否成立;若只有步骤②缺少步骤①,则假设就失去了成立的前提,步骤②就没有意义了.(2)用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步,即n=k+1时为什么成立?n=k+1时成立是利用假设n=k时成立,根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n=k+1时成立,而不是直接代入,否则n=k+1时也成假设
3、了,命题并没有得到证明.【做一做1】用数学归纳法证明3n>n3(n≥4,n∈N+),第一步应验证()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4解析:由题意知n≥4,n∈N+,所以第一步应验证n=4,故选D.答案:D【做一做2】用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)2,当n=1时,左边式子为.从k到k+1左端需增加的式子是.解析:当n=1时,左边=1+3=4,右边=(1+1)2=4.左边式子是连续(n+1)个奇数相加,因此当n=k时,左边式子为1+3+5+…+(2k+1).当n=k+1时,左边式子为1+3+5+…+[2(k+1)+1]
4、=1+3+5…+(2k+1)+(2k+3).故增加的式子是2k+3.答案:1+32k+3思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.()(2)数学归纳法的两个步骤缺一不可.()(3)凸(n+1)边形的对角线比凸n边形的对角线多(n-1)条.()(4)用数学归纳法证明“2n>n2+1对n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明的初始值n0应取2.()(5)所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决.()×√√××探究一探究二探究三思维辨析用数学归纳法证明恒等式等式左边=等式右
5、边,所以等式成立.(2)假设n=k(k∈N+,k≥1)时等式成立,即有探究一探究二探究三思维辨析所以当n=k+1时,等式也成立.由(1)和(2),可知对一切n∈N+,等式都成立.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟用数学归纳法证明问题的三个关键点(1)验证是基础.数学归纳法的原理表明:第一个步骤是要找一个数n0(n0≥1,n∈N+).这个n0就是要证明的命题对象对应的最小正整数,这个正整数并不一定是“1”.(2)递推是关键.数学归纳法的实质在于递推,所以从“k”到“k+1”的过程中,要正确分析式子项数的变化,关键是弄清等式两边的构成规律.弄清由n=k
6、到n=k+1时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项.(3)利用假设是核心.在第二步证明n=k+1成立时,一定要利用归纳假设,即必须把假设“n=k时命题成立”作为条件来导出“n=k+1时命题成立”.在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项,这是数学归纳法的核心.不用归纳假设的证明不是数学归纳法.探究一探究二探究三思维辨析变式训练1用数学归纳法证明(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N+).证明:(1)当n=1时,左边=1+1=2,右边=21×1=2,等式成立.(2)假
7、设当n=k(k≥1,k∈N+)时,等式成立,即(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k×1×3×…×(2k-1).则当n=k+1时,(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)·…·(k+k)(2k+1)(2k+2)=2(k+1)(k+2)·(k+3)·…·(k+k)(2k+1)=2×2k×1×3×…×(2k-1)(2k+1)=2k+1×1×3×…×(2k-1)[2(k+1)-1],所以当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任意正整数n都成立.探究一探究二探究三思维辨析用数学归纳法证明
8、不等式分析:此题用数学归纳法证明时,要注意n≥2,故第(1)步应验证n=2时是否成立.探究一探究二探究三思维辨析∴当n=k
