数学基础班－线性代数讲义

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1、数学基础班网络课程电子版教材线性代数部分前言1．复习线性代数应该着重于概念部分线性代数的特点：概念性强，它的许多概念和性质比较复杂和抽象，而计算题型不多，它们虽然计算量大，但是方法初等，技巧性差。另一方面，考研命题的特点是综合，多变，追求新颖，因此题目的典型性淡化了，灵活性增加了。这个特点尤其在线性代数上反映得最明显。于是，在理论上提高自己，加深对概念的理解，拓宽解题思路，增强应变能力才是应对这样的考题的有效途径。为此，我认为对线性代数的考前准备，自始至终都应该把加深理论的理解放在最重要的位置上。在现在的基础复习阶段更加应该这样做。重点放在帮助大家在理论上

2、打好基础，并在此基础上改进解题方法。2．怎样来复习概念？梳理，沟通，充实提高。梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。沟通：突出各部分内容间的联系。充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷的方法。大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不知道的。但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。3．对大家学习的建议学习数学一定要自己动脑，动手。我们的课程比学校的课程是大大浓缩的，强度很大。要想收到好的效果不能只听，自己要花很大努力。（1）有预习，最

3、好先把过去学这门课时的教材和笔记看看。（2）听课时着重于理解，不要只顾记笔记。在所发的讲义中，重要的内容都会写出的。（3）最好能同步的复习，消化，做题。为此在相邻的两次课之间留有足够的时间。第一讲基本知识一．线性方程组的基本概念与不一定相等。两个研究目标：（1）讨论解的情况（）唯一解，无穷多解，无解（2）求解，无穷多解时求通解。齐次线性方程组：。-75-零解（）。唯一解：即只有零解。无穷多解：有非零解。二．矩阵和向量1．什么是矩阵和向量系数矩阵增广矩阵，2．线性运算与转置①加（减）法②数乘①②③-75-④⑤或。向量组的线性组合，。转置的转置（或），。3．阶

4、矩阵行、列的矩阵。对角线，其上元素的行标、列标相等对角矩阵数量矩阵单位矩阵-75-上（下）三角矩阵对称矩阵。反对称矩阵。三．矩阵的初等变换，阶梯形矩阵初等变换分三类初等行变换①交换两行的上下位置②用非零常数乘某一行。③把一行的倍数加到另一行上（倍加变换）阶梯形矩阵①如果有零行，则都在下面。②各非零行的第一个非元素的列号自上而下严格单调上升。或各行左边连续出现的的个数自上而下严格单调上升，直到全为。台角：各非零行第一个非元素所在位置。简单阶梯形矩阵：3．台角位置的元素都为14．台角正上方的元素都为0。-75-每个矩阵都可用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形

5、矩阵。如果是一个阶矩阵是阶梯形矩阵是上三角矩阵，反之不一定，如是上三角，但非阶梯形四．线性方程组的矩阵消元法用同解变换化简方程再求解三种同解变换：①交换两个方程的上下位置。②用一个非数乘某一个方程。③把某一方程的倍数加到另一个方程上去，它在反映在增广矩阵上就是三种初等行变换。-75-，，，。矩阵消元法：①写出增广矩阵，用初等行变换化为阶梯形矩阵。②用判别解的情况。i）如果最下面的非零行为，则无解，否则有解。ii）如果有解，记是的非零行数，则时唯一解。时无穷多解。iii）唯一解求解的方法（初等变换法）去掉的零行，得，它是矩阵，是阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。

6、则都不为。于是把化出的简单阶梯形矩阵应为其方程为即就是解。-75-第二讲行列式一．形式与意义A是阶矩阵，表示相应的行列式。二．定义（完全展开式）一个阶行列式的值：①是项的代数和②每一项是个元素的乘积，它们共有项其中是的一个全排列。③前面乘的应为的逆序数-75-，例1．例2．例3．求中的和的系数三．计算（化零降阶法）余子式和代数余子式-75-称为的余子式。定理：一个行列式的值等于它的某一行（列），各元素与各自代数余子式乘积之和。命题：第三类初等变换保持行列式的值化零降阶法例4．求行列式的第四行各元素的余子式之和。-75-四．行列式的其它性质1．转置值不变2．

7、用一个数乘某一行（列）的各元素值乘3．行列式和求某一行（列）分解，3阶矩阵4．第一类初等变换使值变号5．如果一个行列式某一行（列）的元素全为或者有两行（列）的元素成比例关系，则行列式的值为。6．一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为。7．8．范德蒙行列个例5．设4阶矩阵，，已知，，求。-75-例6．，，，即五．元素有规律的行列式的计算例7．解：-75-例8．例9．，求的条件例10．六．克莱姆法则克莱姆法则：设线性方程组的系数矩阵是阶矩阵（即方程个数未知数个数），则时，方程组唯一解，此解为是的第列用代替后所得阶行列式：时，解如何？即唯一解

8、？改进：唯一解证明：-75-若，则,，故唯一解。若唯一解，则有个非