考研数学中的二重积分的计算技巧

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1、万方数据VoL11，No．2高等数学研究Mar．．2008S_rUDIl添INCOLLEGEMAT}{EMATIc芯63考研数学中的二重积分的计算技巧‘温镩丁(聿}飘财经学捷露麓数学系岛鲁束齐830012)摘要正确选择积分次序，利用区域的对称性及黧元函数的棚对奇偶性求=重积分。分段函数的麓重积分关键溺二重积分；计算技掰中固分类号0172二重积分的计算是考研数学中最常见的题型之一，它同时又是概率统计中许多题型的计算基础，由于其计算方法灵活，技巧性强，考生不易全面掌握而丢分的现象是比较普遍的．现将笔者在教学孛黠二重积分的计算心霉摹，形成泼下文字，供参考．一积分次序的正确选择一般说来，积

2、分次序的确定有以下原则：l。墨两静积分次亭均霹计算酵，疲选择使积分运算受麓单静积分次序．例1(06数量，四考研题)计算二重积分lI--xydxdy，一毒其中D是由直线。，=z，y=1，z=o所阉成的平蕊区域．解积分区域如图，显然，I∥芦丽z要比l∥厂葡，易子求舞，因此税分次序应选为先z，螽Y，帮l＼--xydxdy—MVC歹--xyd∞_，yjy=l(1。1)／／o菇二一善1吾丽刊吾卜一号p扣吾点浮壶予f∥芦刁岁难以计算，敖诧藤羞先对y再对z积分，器配方嚣爱三焦代换，计算将比较困难．2。若遇到不可积的函数(即不定积分不能用有限形式表示其结果)时，逶常要交换积分次簪。例2设，(z)=

3、f厂，dy，求J—ff(x，)dx．．i嘻妇解因为j勰f哔拦f如f苎!二：≥掣dy，其中f，，dy咭Vx．6√z。不悲霜森隈形式表示其结果，掰以它不毙先积分，教交换积分次序褥．r=J1警=M丢扣一M丢如·收稿日期，2007--01—17⋯1。y‘1岁二。y，+^厂D＼x万方数据64高等数学研究2008年3月=--2fe-y2石l了dy一2pY'dy=÷一，__3．被积函数中若含有抽象函数，则一般应交换积分次序．．例3设函数厂(z)在[o，1]上连续，并设J-厂(z)dz—A，求J一，出扣(z)，(y)dy．解(积分区域与例1中相同)所求积分lf(y)dy中，由于，(y)是抽象函数，

4、故无法计算，可考虑交换积分次序，但交换积分次序后，If(x)dx仍无法计算，再考虑利用定积分对积分变量的无关性，将积分向已知积分If(x)dx—A转化．‘因为l=＼h＼f(z、)f(y)曲一＼ay＼八曲八D缸一＼№)d武洳、)如一＼㈣如沁№所以2卜=J．，(z)如p(y)dy+．f厂(z)出．f，(y)dy=J．，(z)时，(3，)dy=A2A2所以J=等．二区域的对称性及二元函数的相对奇偶性的应用容易证明二重积分有以下对称性定理．定理(1)如果积分区域D关于z轴对称，f(x，y)关于Y具有奇、偶性，则‘。JIf(x,y)dxdy：协。⋯f(⋯x,--y)一2--f(xy,，们其中

5、Dt是D的z轴以上部分．如果积分区域D关于Y轴对称，f(x，y)关于z具有奇、偶性，有类似的结果．(2)如果积分区域关于原点对称，则f(x,y)dxdy=协训焉f(～--x,叫--y)一=--f(xy,，y’其中D，是D的上半平面部分．(3)如果积分区域关于直线y=z对称，则伊(z，y)如dy=伊(y，z)dxdy．：，例4计算¨z[1+∥(，+，)]如dy，其中D是由y=z。，y=1，z一一1所围成的区域，，(“)为连续函数．．解如图，在积分区域内添加曲线Y=一Xs，于是万方数据肛[1+y弛2+y2)-]d啦一j卜[1h触2w小讪+盯m+y弛2+y2)]d讪DDI+DzD3+D4

6、由对称性定理可知『『出十3，m2+y2)]d砷一『『础dyDI十D2D1+D2+llxyf(x2+y2)dxdy—o)，=D～1+D2Ⅳ出+3，m2w)]d曲一Ⅳ础曲D3+D4+ffxyf(z。+y2md了D；一D4O⋯3‘y(-I，1)rl3艇}-ZDj，一／Y2旷O石1)3X=2Ⅱ础dy=2卜py—i2D4—10例5(05数二考研题)设区域D一{(z，y)

7、z2+y2≤4，z≥0，Y≥0)，厂(z)为D上的正值连续函数，以，6为常数，则J—ff生≤垒兰尝至出dy一(一)．jS√}(芏)jr、／f0∞玎呜鬻dxdy=盯筹鬻岫：l厕七厕：{厕七丽J于是2J—J了堡—3J‘!-f!(

8、ix!)糯d．zdy寸J：』垡—：；手；蓦；筹dzdyoe+√f(y、)．je、／f(y)+、／f(z)’故J—ff坠丝尘丝丝婴dzdy一—a下+b丌3S√f(z)+√f0∞z三分段函数的二重积分含绝对值和含符号max和min的二重积分均为分段函数的积分，前者可通过令绝对值中函数为零，求出积分区域的分界线，从而在每个子区域上确定绝对值中函数符号，去掉绝对值；后者可令符号中两个函数相等，从而求得积分区域的划分界线，然后在每个子区域确定符号max和rain中函数的大小，去