分类讨论思想在初中数学解题中的应用2012

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1、分类讨论思想在中学数学解题中的应用丹阳市珥陵初级中学李凌虹摘要:在中学数学教学中，我们要有计划、有意识、有步骤地渗透一些数学思想方法，引导学生去感悟基本的数学思想。分类讨论就是一种重要的思想方法，本文尝试通过几个典型例题的解析，揭示分类讨论思想的解题策略，感受分类讨论思想在解题中的运用。关键词:分类讨论思想应用初中数学的基础知识主要是“初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理以及由内容所反映出来的数学思想和方法。”学生从小学进入初中，数学学科不论是学习内容、学习方法，还是思维方法都发生很大变化，解决数学问题的思想方法将得到不断的充实更新。渗透

2、在数学概念和方法中的数学思想需要在教学中充分的挖掘和应用，成为教学目标的不可缺少的组成部分。分类讨论是一种重要的数学思想，在解题中正确、合理、严谨的分类，可将一个复杂的问题大大的简化，达到化繁就简，化难为易，分而治之的目的，这是学习任何科学，包括数学学习的一种科学方法。如果能让学生理解并掌握分类讨论的思想方法，就可以培养学生的综合分析能力和思维的条理性、严谨性和完整性，提高和发展他们的思维能力。一、什么是分类讨论分类讨论是依据数学对象本质属性的异同,选取适当的标准不重复不遗漏地将其分为若干类，然后逐类进行讨论来解决问题的一种数学思想方法，是数学发现

3、的重要手段。如在学习有理数、三角形、四边形、圆周角和弦切角定理的证明、一元二次方程求根公式的推导等知识时，就运用了分类讨论的思想。分类讨论思想的原则是：标准统一、不重不漏。分类讨论可以使问题化繁为简，化难为易，能很好地训练一个人思维的条理性和概括性。二、分类讨论思想的原则14一个数学问题是否要分类及如何分类，这种经验的积累是十分重要的。一般情况下，当被研究的问题包含有多种可能的情况，导致我们不能将它们一概而论时，迫使我们将可能出现的所有情况来分类讨论，得出各种情况下相应的结论，而后进行综合。分类讨论一般应遵循以下的原则：1.对问题中的某些条件进行分

4、类，要遵循同一标准。2.分类要完整：不重复，不遗漏。3.有时分类并不是一次完成，还须进行逐级分类，对于不同级的分类，其分类标准不一定统一。数学思想方法是在数学知识的发生和应用的过程中形成和发展的，因此，我们要有机地利用数学学习过程进行渗透，不断加以归纳、提炼、强化。这就要求教师认真钻研教材，从整体出发，有计划、有目的地结合数学知识的学习，进行数学思想的教学。比如学习分类思想，要明确分类思想方法具体分散在哪些章节的哪些知识的教学中，不失时机地逐步引导学生建立分类讨论的思想，揭示分类讨论思想的本质，使学生能够自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学问题

5、，形成能力。三、分类讨论思想在解题中的应用在我们平常的生活中，都存在着分类的问题，比如说超市里物品的分类，大街上人群的分类等等，这些都是一些基本的常识，我们可以有效的利用这一点，将生活里的这种意识，转移到数学当中，然后在学习的过程中多多讲解这些，比如说像正数，负数的问题，绝对值的问题，还有不等式都可以夹杂讲解分类思想。分类讨论思想的应用和分类的标准既是重点又是难点。下面我们通过以下以例题来讲解分析：【典型例题】（一）、与数学概念、定义有关的分类讨论。例1.分析：对值符号，这就要根据绝对值的概念进行分类讨论研究。解法一：14解法二：故应填8或2。例2

6、.已知相切两圆的圆心距为5，一个圆的半径为2，则另一个圆的半径为__________。分析：相切两圆分为内切、外切两种情况。解：设另一个圆心的半径为r，则r＋2＝5或r－2＝5。∴r＝3或7。（二）、涉及数学运算法则或定理、公式的适用范围的分类讨论。例3.A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、二、三象限分析：分两种情况讨论。解法一：分两种情况讨论：（1）当a＋b＋c≠0时，由等比性质，得14（2）当a＋b＋c＝0时，a＋b＝－c，综合（1）（2），直线y＝kx＋k一定经过第二、三象限，故选B。解法二：例4.误解：分析：误解的结果

7、是正确的，但解法是欠妥的，造成误解的原因是习惯性地把未知量x，y看作不相等，即忽视了x＝y的情况，这种错误易出现，但又难发现，因此必须高度重视。正确的解法是分类讨论：14说明：本例也可以应用因式分解法避免讨论：解法二：（三）、涉及问题中待定参数的变化的分类讨论。例5.根？分析：方程有实数根，即方程有两个或一个实数根，相应的方程为一元二次方程或一元一次方程，所以对未知数最高次项的系数要分类讨论。解：说明：方程中最高次项的系数是含字母的不确定代数式，决定了它的取值的多种可能性，不能看到x2项就简单地认为是一元二次方程。例6.14（1）k满足什么条件时，

8、这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点？（2）设（1）中的两个交点为A，B，试比较∠AOB与90°角的大小。分析：置