初中数学中考热点分析

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1、几何最小值问题——中考热点分析西鲍中心校初中部邹景德中考数学是以新课程目标和内容为依据，全面考查学生对基础知识的理解，对基本技能的掌握和对基本数学思想方法的应用。每年中考数学的热点都是教育专家、数学大师探讨的方向。利用二次函数求经济问题和面积问题的最值，一直是中考中常见的热点问题。但是近年来数学中考中的最值问题，其考查的方向与解决问题的方法发生了很大的变化，那就是几何最小值问题。几何最小值问题近几年频繁地出现在各地的中考试题中。几何最小值的求解有两个可用结论：一是数学基本事实“两点之间，线段最短”；二是垂线段的一个性质

2、“垂线段最短”。另外：如图（1），“点A、B在直线m的同一侧，在直线m上找一点P，使PA+PB的值最小”的方法已经成为求解几何最小值问题的重要的数学思想方法。下面是一些几何最小值问题的解题分析，通过对这些问题的分析可以看到解决几何最小值问题的一般思路。例1．如图1-（1）：△ABC中，点P为AC边上的一点.（1）试在AB、BC上分别找一点M、N,使△PMN的周长最小；（2）当点P在AC上运动时，要使（1）中的△PMN的周长最小，试找出点P的位置.1-（1）1-（2）1-(3)分析：如图1-（2）分别作出点P关于AB、B

3、C的对称点P1、P2，这时在AB、BC上分别任取点M/、N/，都有PM/=P1M/，PN/=P2N/.故这时△PM/N/的周长等于P1M/+M/N/+P2N/,要使△PM/N/的周长最小，就是要使P1M/+M/N/+P2N/最小，则当然P1、M/、N/、P2在同一直线上时最小.所以连接P1P2交AB、BC于M、N，这时△PMN的周长最小.这里将ΔPMN的周长先转化为几条折线段的和，进将问题转化为“两点之间线段最短”来解决。如图1-（3）分别连接BP1、BP2、BP，则BP=BP1=BP2，∠P1BP2=2∠ABC（为定

4、值）.而△PMN的周长即为P1P2的长，要使得P1P2最小,则须BP最小.根据“垂线段最短”当有BP⊥AC时BP最小.从而确定了点P的位置.例2.当x取何值时，代数式+的值最小？并求出这时的最小值.分析：转化为几何最小值问题求解如图，设点A、B为直线a同侧两点，AC⊥a，BD⊥a，C、D为垂足，AC=2,BD=4,CD=8，点P为CD上动点，PC=x，则PD=8-x.于是有PA=,PB=.故可将代数式+的最小值问题转化为求PA+PB的几何最小值问题，求解x的值进而转化为求线段PC的长了.例3．如图：△ABC中，∠ACB

5、=90°,AC=3,BC=4,P为AB边上一个动点，PD⊥AC，PE⊥BC，当点P在何处时，线段DE的长最短，并求出这个最短的值.分析：连接PC，根据矩形的对角线相等，可将DE最小值的问题转化为求线段PC的最小值问题。当点P在BC边上运动时，根据“垂线段最短”，故当CP⊥AB时PC最短。例4.如图：四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，点M是BD上的一点，将BM绕点B劣时针方向旋转60°到BN位置，连接EN,问点M在何处时，AM+BM+CM的值最小？并求当该最小值为+1时的正方形边长.分析：解题的关键在于如何将

6、AM、BM、CM转化为几条折线段的和.连结MN有△BMN为等边三角形结论，这时BM=MN；另易证△ABM≌△EBN,这时又有AM=BN.到此就可将AM+BM+CM转化为BN+MN+CM来考虑.根据“两点之间、线段最短”,显然这时AM+BM+CM的最小值即为线段EC的长.故连接EC交BD于点M，点M即为所求.接下来由AM+BM+CM的最小值为+1，即EC的长为+1.这时在等腰ΔEBC中，BE=BC，∠EBC=150゜,EC=+1.求腰BC的长也就简单了.例5.如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD是等腰梯形，A、B

7、在x轴上，D在y轴上，AB∥CD，AD＝BC＝，AB＝5，CD＝3，抛物线过A、B两点.（1）求抛物线的解析式；（2）设M是x轴上方抛物线上的一动点，它到x轴与y轴的距离之和为d，求d的最大值；（3）当（2）中M点运动到使d取最大值时，此时记点M为N,设线段AC与y轴交于点E,F为线段EC上一动点，求F到N点与到y轴的距离之和的最小值，并求此时F点的坐标.分析：(1)易求A（－1，0）、B（4，0），b=3，c=4,抛物线的解析式为y=-x2+3x+4.（2）由点M在抛物线y=-x2+3x+4上可设M点坐标为,这时.①

8、当时，所以，当时，d取最大值，值为4；②当0