抛物问题的区域分解算法及特征线方法

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1、山东大学博士学位论文抛物问题的区域分解算法及特征线方法姓名：强静申请学位级别：博士专业：计算数学指导教师：芮洪兴20090420山东大学博士学位论文予油藏的运移聚集、油气资源的开采、地下水的污染、海水入侵等很多领域。从物理本质上考虑，它们都是流体在地下复杂的多孔介质问的运移，这种运移常常是对流占优或强对流占优的扩散运动。对于这些大规模长时间的实际应用问题，数值方法求解其数学模型常常遇到很大的困难。显著的困难在于对流占优的对流．扩散方程的解具有移动的陡峭前沿，求解一般抛物方程所用的标准有限元方法或有限差分方法会产生难以接受的数值震荡和数值弥散。为了克服数值震荡，工业中求解这类问题所使用

2、的加权迎风方法又会产生较强的数值弥散。J．Douglas，Jr．在1982年首次关于对流一扩散问题提出特征线方法f261。将特征线方法引入到对流占优的对流一扩散问题中，这被认为是求解对流占优方程近似解的一种有效途径。此后，J．Douglas、Jr．、T．F．Ewing、M．F．Wheeler和袁益让教授等都对对流一扩散方程问题的研究和应用奠定了坚实的理论基础和实验基础『24，25，35，48，49，64，651。从实验中可以看出，特征线方法相比一般的方法，能够增加时间步长，从而提高计算效率，同时避免数值震荡等优点，为大规模和大时间步长的数值计算提供了有效的途径。芮洪兴教授和M．Tab

3、ata在2002年建立了一种新的特征线方法[52】。这种计算格式在时间步长上具有二阶精度，并且是对称的和无条件稳定的。在导师芮洪兴教授的悉心指导下，本文作者在前人工作的基础上，对重叠型区域分解算法和特征线方法做了部分研究工作。首先，基于X．C．Cai提出的加性Schwarz算法，我们论证了抛物问题的加性Schwarz算法的收敛性以及误差估计对子区域长度、空间网格步长、时间步长和每一时间层上的迭代次数的依赖性。理论分析和数值算例均表明，算法具有高度的并行性。其次，结合X．C．Cai提出的乘积性Schwarz算法和芮洪兴教授提出的二阶特征有限元方法(计算格式在时间步长上具有二阶精度)，对

4、对流一扩散方程构建了一种新的区域分解算法，并且理论上分析了算法的收敛性。最后，基于T．Arbogast和M．F．Wheeler建立的特征一混合元方法，我们给出一种特征一混合元格式来近似求解不稳定状态对流一扩散方程，此格式保持局部质量守恒性。本文作者在理论上证明了格式的收敛性，并且在一定的条件下论证了误差估计关于趋于零的扩散系数是一致的。全文共分三章。第一章，首先考虑由二阶抛物问题的Galerkin有限元方法所得到的线性代数方程组，我们在此基础上提出了加性Schwarz区域分解算法。此种算法的方程系数矩阵是对称正定的，可以应用共轭梯度法迭代求解。然后我们论证了抛物问题的加性Schwar

5、z算法的收敛性及误差估计与子区域长度、空间网格步长、时间步长和每一时间层上的迭代次数之间的关系。理论分析和数值算例均表明，算法具有高度的山东大学博士学位论文并行性。其次，我／fJ弓l进一种修正的加性Schwarz算法，这类算法相比于一般加性Schwarz算法更适用于并行计算，并且同样在理论上证明了修正的加性Schwarz算法的收敛性及误差估计对子区域长度、空间网格步长、时间步长和每一时间层上的迭代次数的依赖性。数值算例验证了算法的的有效性和优越性。本章的一些结果已经发表在(AppliedMathematicsandComputation))上(见[461)。第二章，主要研究对流一扩散

6、方程的区域分解算法。我们知道，对流占优的对流一扩散方程的解具有移动的陡峭前沿，求解一般抛物方程所用的标准有限元方法或有限差分方法会产生难以接受的数值震荡和数值弥散。对此问题，采用芮洪兴教授所提出的二阶特征有限元格式(计算格式在时间步长上具有二阶精度)【52】，并结合乘积性Schwarz算法，我们得到一种新的区域分解算法并且给出一个最优阶的误差估计。理论分析证明了算法的收敛性。我们还证明了误差估计与子区域长度、空间网格步长、时间步长和每一时间层上的迭代次数之间的关系。第三章，研究不稳定状态对流一扩散方程的特征一混合元方法。到目前为止，数值求解对流占优的对流一扩散方程仍然是计算数学专业的

7、一个研究热点。近年来，这类数值方法的研究有很多，例如，显式特征线方法、流线扩散法【38】、修正的特征Galerkin有限元法(MMOC—Galerkin)[24，26，31]和Eulerian-Lagrangian局部共轭方法(ELLAM)『18，19，54，56，57】等等。每一种方法都有各自的优点和缺点。显式特征线方法需要一个Courant—Friedrich-lewy(CFL)时间步长条件。流线扩散法虽然能够在一定程度上消除数值弥散，但是增加了一个自