形状优化问题并行区域分解算法的研究

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1、形状优化问题的并行区域分解算法研究摘要形状优化问题(shapeoptimizationproblem)是指通过改变一个物体的形状来达到某种优化目的．形状优化问题在工程中有着非常广泛的应用，如飞机机翼的设计，高速列车车头的设计，医学上搭桥手术中桥的形状设计，微流控生物芯片的设计等等．这些形状优化问题都会含有某种偏微分方程作为约束条件，即属于偏微分方程约束的优化问题(partialdi艉rentialequationconstrainedoptimizationproblem)，其与其它偏微分方程约束问题，如边界控制问题(boundarycontrolpr

2、oblem)的主要区别在于此类问题的优化变量是物体的形状、即其计算区域在问题的求解过程中会发生变化，从而使得这类问题的求解更加困难．求解这类问题的另一主要困难在于其规模非常庞大(偏微分方程只是它的一个子问题)，普通的单处理器计算机很难精确求解此类问题，从而需要借助大型的并行计算机来求解．本博士论文的目的是研究形状优化问题的高效并行算法．常用的求解形状优化问题的算法是通过求解其一阶最优性条件(即极值点)来获得此类问题的解，由于受计算机内存和计算速度的影响，在过去的二三十年里流行的算法通常把一阶最优性条件分成三块：状态方程，共轭方程和设计方程，然后迭代地求

3、解此三组方程．这类算法较容易实现，但收敛性和并行性不是很好，且其需要重复地多次精确求解状态方程(通常为偏微分方程)，从而其计算量非常大．此类算法类似于非线性的块Gauss—Seidel算法．本文提出了一种新的求解形状优化问题的全耦合(one—shot)并行Lagrange—Newton—Krylov_Schwarz(LNKSz)算法．LNKSz将优化问题的一阶最优性条件看作一个整体来求解，在整个求解过程中只需要求解一次状态方程，从而避免了传统算法中收敛性，并行性差和计算量大的缺点．由于形状优化问题在求解过程中，其计算区域会发生变化，本文首先介绍了形状优

4、化问题的移动网格有限元方法．接下来介绍了求解离散的形状优化问题的一种基于重叠型区域分解算法的全耦合并行LNKSz算法．此类全耦合算法虽然避免了传统算法中收敛性，并行性差和计算量大的缺点，但也带来了新的困难．首先，此类算法中需要求解的非线性方程组的维数是传统算法中的非线性方程组维数的两到三倍．其次，此非线性方程组所对应的Jacobian矩阵的条件数一般都会变的非常大．从而设计一种好的预处理算子成为此类全耦合算法中非常重要的一部分．此预处理算子需要同时具有降低Jacobian矩阵的条件数的能力和很好的并行效果．本博士论文设计了一种具有以上能力的求解形状优化

5、问题的预处理算子：限制Schwarz预处理算子．将经典的限制Schwarz预处理算子应用到此类形状优化问题并非一件简单的事．由于此类问题的复杂性，将经典限制Schwarz预处理算子应用到形状优化中时需要进行一些修正，如各个变量的排序和划分等等．我们分别介绍了适用于形状优化问题的一水平(one-1evel)和两水平ftw0-level)限制Schwarz预处理算子．在构造两网格限制Sehwarz预处理算子时博士学位论文发现，经典的从粗网格到细网格的插值算子并不适用此类问题．从而设计了一种新的从粗网格到细网格的插值算子．作为应用，我们用此算法研究了医学上心

6、脏插管手术中管道的形状设计问题和治疗血管阻塞的血管搭桥手术中桥梁的形状设计问题．从数值结果看，本文提出的的算法收敛性很好，且在上千个处理器的大型并行计算机上的并行效果也很好．本文前四章研究的形状优化问题，由于问题的复杂性，在其求解算法的收敛性和收敛速度方面尚无理论分析．在论文的最后一章，我们尝试在这方面做一些初步的理论分析研究．我们首先将问题简化，考虑了一类简单的非线性优化问题，针对这类问题，提出了一种新的子空间校正算法，并对其收敛性和收敛速度进行了详细分析．关键词：形状优化，预处理算子，区域分解算法，两水平算法，并行算法，全耦合算法，有限元，移动网格

7、，非精确牛顿算法，不可压Navier—Stokes方程，流体计算，子空间校正算法形状优化问题的并行区域分解算法研究AbstractShapeoptimization，oroptimalshapedesign，aimstoop七imizeanobjectivefunctionbychangingt11eshapeofthecomputationaldomain．Itarisesinavarietyofengineeringapplications，e．g．，aerodynamicshapedesign，arterybypassdesign，microfl

8、uidicbiochipdesignandsoon．Mostoftheseoptimizati