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1、关于台形体积的计算公式新疆巴州廿一团场子女中学数学组一、问题的提出和分析“”,,两个平行平面之间所夹的一块物体叫台形体圆台棱台是它的特例在实践中、、例如,石方砂石料堆的体积常常要计算更一般的台形的体积工程施工中计算土方在、矿藏储量时,,等高线图上计算水库容积也常用分片计算的方法即分成若干台形来计算、,中介绍了计算台形体积的三个公式截锥公式梯形公式和励!∀#公式并对这些川,#公式进行了分析比较指出血!∀公式具有较大的普遍性#,“#”∃但励!∀公式有两个缺点第一公式中的反!∀改正数不易计算或估计
2、第,即使是很简单的台形,%&二它也不一定能给出准确的体积产生这些缺点的原因在于“制高点”,,它假定台形有一个而在一般情况下这个制高点并不一定存在,、,,在施工实践中迅速准确地计算出土方和料堆的体积对于节约成本提高效率有一,,定的意义特别是当工程施工后期现场上常有若干不很规则的零星小堆时更要求算得,用【%中介绍的方法,,准一些但是就不太适合梯形公式计算小堆时误差较大锥形公,,#式计算长条状小堆也不太准又不好算而励!∀公式简直很难用于实际计算通过几,,,#公式广泛而易于计算对许年的摸索我们在实践中
3、总结出一个计算公式它比∋∀!∀多常见台形,它能给出准确的体积在塔里木地区修建某公路小桥时,在最后一项混凝土浇灌之前,现场砂石料看来所剩不多了如果通知运输单位再拉一车料,就要停工等待,,∃如果马上浇灌并可能造成运输力浪费又怕中途缺料造成质量事故这就要准确计算料,确定可以马上施工,堆的体积经过细致测算结果浇灌完后砂石料果然只剩下一点“”底子了这就避免了停工和无益的运输我们怎样从实践中总结出一般公式的呢(,,,开始我们用梯形公式计算实践中发现算大堆较准而算小堆时相对误差就大一,,于是就分析误差产
4、生的原因,些由于梯形公式计算比较方便我们不愿意改用截锥公式,希望在梯形公式基础上加以修正以得到更准确的数字,“”“”一般台形好象是千变万化但它决不是没有规律的用一分为二的观点来分析,,上下一笼统的柱体部分和里圈高外圈低的外围台形我们发现台形总可以分成两部分,,部分“”的体积好算)底∗∃“”的计算变化多端是主要矛盾在梯形柱部高+就行外围公式中,把外围当成柱体计算后再折半这样符不符合实际情况呢(,“”,通过具体分析发现对外围也要一分为二有些部分确实符合梯形公式有些地方,则不符合例如%,这是一个
5、台形料堆的俯视图这个料堆的侧面是由几块平象图所示,,,面组成的图上的粗实线表出了台形的棱细线是辅助线中间一块标明了是柱部的投影“,”的四个矩形,,外围部份被分成了几块其中对应于画的部份是符合梯形公式的而另,,,“外一些位于拐角处的部分则不符合梯形公式需要改正一下从而产生了改正数,’上这,因为堆小了,也说明了为什么梯形公式计算小堆不准,,,面几乎是尖的从俯视图上看不要改正的部分很少也就是误差较大现在,主要矛盾变为这些拐角部分,不符合梯形公式,(这一来,的部分究竟是比公式算出的结果大还是小把“外围”
6、中不符合梯形公式的部分,又来个“一分为二”有,“”,“”,一些如图%中用十号标出的几块都是凸角它们对,,应的那些部分事实上是锥形应当按照粤)底∗高+来一一−,,,算但公式中是按生)底∗高+算的因而多算了粤)底∗高+应当去掉另外如图./“”“”,中用一号标出的那块凹角却相当于一个柱休去掉一个同底锥形后剩下的部分这,,应当∗高+来算∃但公式中按照生)底∗高+来算少算了生)底∗种部分按照兰)底/,高+这样一分析计算方法便出来了台形体积一工)柱部底0总底+∗高一高∗改正数粤/改正数1凸角部分面积一凹角部
7、分面积、,,,这个计算公式很直观简单但不严密也不普遍第一对一般台形究竟哪些部分,,算凸角(哪些部份算凹角(第二在什么条件下它给出准确的体积(分%,“析图中凸角与凹角部分的区别可以看出凸角部分的划分线,’)在图上用细线“”,,“”表示+是向外张开的而凹角部分的划分线则是向内张开的而那些不需要改正的部分)在图%中用。标出的部分+,它们的两条“划分线”则是平行的“”“”,看出了改正数与划分线的夹角之间的这种联系之后也就找到了计算一般台形,“”向“”“体积的线索把俯视图画出来从内圈外围引许多直线段划分
8、线,’∃从而把“”。,交角“向外张”,“—”外围分成许多小块根据划分线的交角为向内张来确定对应的改,,为正,为负如果某个小块为三角形,那么,对应改正数的部分的绝对值正数的部分为便可以取这三角形的面积,如果某个小块对应的两条划分线既不平行,也不在端点交会,,只要再添加一条划分线,那么便可以把它分成一个三角形和一个具有两条平行划分线的小块了我们设想对于相当广泛的台形,只要把“划分线”取得足够密,就可以按上述方
