例析两类平面区域面积的求法

《例析两类平面区域面积的求法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、高中数学教与学2014年例析两类平面区域面积的求法张全合何苗(北京市昌平区第一中学，102200)求区域的面积是高中数学中的常见问式，画出相应图形，是本题求解的关键．题，本文谈谈由运动变化产生的区域及其面二、由参数的变化形成的区域积的求解方法．侈02当2≤口≤3时，求II+lYI=Ⅱ一、由图形的平移形成的区域所成区域的面积。例l若点集A={(，Y)I。+Y≤1}，解如图2，II+IYI=2表示的图形B={(，Y)I一1≤≤1，一l≤Y≤1}，则是边长为的正方形ABCD，当口从2变化到I(1)点集P={(，Y)l=+1，Y=Y3的时候，正方形ABCD向外扩张变为

2、边长为l3√2的正方形EFGH+1，(．，Y。)∈A}所表示的区域的面积为所以当2≤口≤3时，Il+lYI=0所成——；}区域是位于正方形ABCD与EFGH之间的区(2)点集M={(，Y)f=+2，Y=YlI域，其面积为S=(3)一(2)=lo．+Y2，(l，Y1)15A，(2，Y2)∈B}所表示的区例3(2008年安徽高考题)若A为不等域的面积为一fx≤0。—一_解(1)点集A表示单位圆盘区域，点集式组{【Y≥0，表示的平面区域，则当n从P表示由A平移形成的区域，易知其面积为竹．)，一≤2(2)点集形成区域可以看成圆盘A：—2连续变化到l时，动直线+Y=n扫

3、过A{(，Y)I96+Y≤1}分别向左、右移动1个单中的那部分区域的面积为——位，再分别向上、下移动1个单位后得到如图1解动直线+Y=o扫过A中的那部分的区域．区域内的点(，Y)应满足不等式组1≤0。其面积为S：S^cD+2SⅣ+4×÷s圆=Y≥0．2×4+2X1X2+1TX1=12+盯．Y—≤2．+Y≥一2．，D2AF+Y≤1．／_—7、Im_l出'匕所表不的半面区域，如图3，易知f一一1G㈡EGE～．2l：一1O：1I2一一A(一2，0)，8(o，2)，c(一÷，了3)，O(0．1)．一1。～1F————／SAr，Dc：S△^o一S△cDC一’R3、~,2

4、／3一，-3Ⅳ图1图2=2一÷=÷．评注准确理解平移变换的坐标表达所求区域的面积为÷．·18·第8朝高中教学教与学画出上述不等式组表示的平面区域，如2—=皂图4，易知S△Ⅲ：1×2×=．又考虑到0≤A≤1，且一1≤≤0；一1＼O1vN+=l：≤A≤0且0≤≤1；～1≤A≤0且一1≤2＼H，=一2一≤0的情况，有点集{Pl=A耐+商，图3lAI+l肛I≤1，A，∈R}所表示的区域是矩形ABCD，如图5．例4(2013年安徽高考题)在平面直角所以点集{PIO—P：A+，lAI+坐标系中，0是坐标原点，两定点A、B满足I肛l≤1，A，∈R}所表示的区域的面积是II=

5、I商I=．：2，则点集{PlO—P．s^黝=4S△B=4√3．选D．=AOA+OB，IAl+Il≤1，A，∈R}所表示的区域的面积是()，B(A)2√2(B)2√3(c)4√2(D)4√3／／c0／n图5图6上述解法侧重将动点P的坐标用参数不图4等式翻译，找出相应平面区域，解题过程较繁琐．若能从向量运算的几何意义人手，可得优解法1由IOAI：IOBI：O—A．OB：美解法如下：2，不妨取a(2，0)，B(1，)．设P(x，，‘)，解法2r11勺当A∈[0，1]是定值，0≤由：A+，得≤1，且A+1时，点P的轨迹是AOAB中f=2A+，平行于OB的线段MN，如图

6、6．让A与肛都变化【y=，起来，线段MN不但作平行运动，而且保持点詈一，、』7、，分别在线段OA与AB上，线段MN扫过的区域就是AOAB．因此，由运动变化的观点直接可以看到，当0≤A≤1且O≤肛≤1时，点【孝．-．．--．．．．-集{P}OP=AOA+OB，IAI+II≤1，A，因为IA1+lI≤1，所以∈R}所表示的区域是AOAB．+22上由对称性，不难得出所求面积为图5中矩43-形ABCD面积，S鲫=4S△n^：4√3，选D．我们先考虑0≤A≤1，且0≤≤1的情同样的方法可解决如下问题：况．有例5(2013年北京高考题)已知A(1，≥0．一1)，B(3，0

7、)，C(2，1)．若平面区域D由所有Y≥0．———4—·—-——0满足AP=AAB+C(1≤A≤2，0≤≤1)—Y≥0，的点P组成，则D的面积为+Y≤2．·19·高中数学教与学2014置换元回归螺窳职髓舰划问题曾晓阳(福建省惠安第三中学．362100)则：的取值范围是(上半月)发表的文章中从不同的角度阐析了xy分析注意到目标函数可化为M：：．+上．xyV令=上，则u：十．『1，问题分解为两”步：先求=上的取值范围，再求u=+÷．在求解这一类问题时，若能充分地把握的取值范围．解由实数，Y满足的约束条件作出可行域(如图l所示．)，易知A(1，2)，(3，1)，G(

8、4．2)．．]}=一表示可行域内的点与