例说平面几何阴影部分面积的求法

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1、例说平面图形阴影部分面积的求法连州市慧光中学欧阳礼[摘要]本文主要对平面图形中求阴影部分面积，作具体的方法介绍。[关键词]作差法等积法重叠法割补法位移法特值法方程法九年制义务教育课本中“求阴影部分面积”的题目大量出现，并且在中考和数学竞赛中，也逐步增多出现。不规则阴影部分常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的。此类题目能较好地考查学生的识图能力和数学综合知识。本文通过实例介绍求阴影部分面积的几种常用方法。（一）和差法。对于求图形面积问题，计算时往往将所求图形的面积转化为规则图形的面积和或差

2、，这是求面积的常用方法．【例1】如图1，正方形的内切圆的半径为r，这个正方形将它的外接圆分割出四个弓形，其中一个弓形的面积是（）。（A）；（B）；（C）（π－1）r2；（D）(π－2)r2.解：一个弓形的面积等于正方形外接圆面积与正方形面积的差的四分之一，得故选（B）。图2图1rO【例2】如图2，已知边长为a的正方形ABCD内接于⊙O，分别以正方形的各边为直径向正方形外作半圆，求四个半圆与⊙O的四条弧围成的四个新月形的面积。解：四个新月形的面积S等于正方形面积与四个半圆面积的和减去⊙O的面积：【例3】如图3，B是

3、AC上的一点，分别以AB、BC、AC为直径作半圆，从B作BD⊥AC，与半圆相交于D。求证：图中阴影部分面积等于以BD为直径的圆的面积。证：∵AC=AB＋BC,以BD为直径的圆面积因BD⊥AC，∠ADC=90°，故BD2=AB·BC.∴阴影部分面积等于以BD为直径的圆的面积。图3图4ABCDO（二）等积法。一个图形的面积不易求或难以求出时，常借助于两个图形之间的面积相等来进行转化，改求与其面积相等的图形面积．【例4】如图4，ABCD为⊙O的内接梯形，AB∥CD，且CD为直径，如果⊙O的半径为r，∠ACB=15°，那

4、么图中阴影部分的面积等于。解：连结OA、OB，∵AB∥CD，∴△OAB与△CAB等积,又∠AOB=2∠ACB=30°.∴.︵︶【例5】如图5，已知半圆的直径AB=40cm，点C、D是这个半圆的三等分点，求弦AC、AD和弧围成的图形的阴影面积Ｓ.图6BAOC图5⌒⌒AC=BD∠ADC＝∠DABCD∥ABS△ACD＝S△OCD解：连结OC、OD.【例6】已知，如图6，⊙O的半径为1，C是⊙O上一点，以C为圆心，以1为半径作弧与⊙O相交于A、B两点，则图中阴影部分的面积是。解：连结AB，则S阴影=2×S弓形ACB。∵可

5、得∠OAB＝30°，从而∠AOB＝120°，∴所以（三）重叠法。把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。【例7】如图7，正方形ABCD的边长为a，以每边为直径在正方形内作半圆，求中间所围成的阴影部分的面积。图8ABCD图7解：阴影部分的面积可看作是四个同样的半圆重叠面积减去正方形面积。说明：此题也可用“作差法”来解：阴影部分面积等于半圆AOB的面积减去直角三角形AOB的面积所得差的4倍。∴【例8】已知，如图8，菱形ABCD的两条对角线长分别为a、b，分

6、别以每边为直径向形内作半圆，求4条半圆弧围成的花瓣形面积（阴影部分的面积）。解：设以BC为直径的半圆面积为S半圆，则所以.【例9】如图9，正三角形的边长为a，以各边为弦，向形内作三条120°的弧，求中间阴影部分的面积。解：阴影部分的面积可看作三个同样的弓形重叠面积减去三角形面积。（说明：一个弓形的面积是.）ABCDP图10O图9（四）割补法。将一个图形的一部分割下来，而移放到其他合适位置上，从而构成易求面积的图形，这种求面积的方法叫做割补法．【例10】如图10，ABCD是面积为1的正方形，△PBC为正三角形，则△

7、PBD的面积为（）。（A）；（B）；（C）；（D）；（E）。解：连结AC交BD于O，连结PO，则△PBD被分为两部分：△PBO与△POD，且S△PBO=S△POC=S△POD.∴⌒AC⌒AC故应选（B）。︵︵【例11】如图11，⊙O的半径为r，是⊙O的圆周长的1/4，在上取与A、C等距的两点B、D，且。作BE⊥OC于E，DF⊥OC于F，求曲边梯形BEFD的面积。解：由已知条件，易证得△ODF≌△BOE，于是可把梯形GEFD割下来补到△OGB上，即梯形GEFD的面积等于△OGB的面积。OEABDFGC图11BAC图

8、12【例12】如图12，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，则图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为（）。解：三圆是等圆，可把三个扇形割补到同一个圆中，所得扇形的圆心角是180°（即得半圆）。故选（B）。（五）位移法。把一个图形通过平移变换或旋转变换，使题目中不相关或关系不密切的几何元素相对集中，以便于研究它们之间的关系。这种变换是全等变换，图形的面积