应矩理论下梁的变形

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1、http://www.paper.edu.cn应矩理论下梁的变形新概念弹性理论（5）123韩文坝，蔡冰清，韩晓东1中国石化总公司扬子石油化工股份有限公司，南京（210048）2哈尔滨工业大学，哈尔滨（150001）3深圳岱宇实业有限公司，深圳（518035）[1]摘要：应矩理论证明了纯弯曲体内无正应力，证明了弯应矩（单位面积弯矩的极限）不[1]为零。因此，对应力理论下推导出来的挠曲线微分方程要修正为用应矩表示的挠曲线微分方程。而应力理论下设计的梁尺寸越大越不能满足刚度要求，保证刚度要求的尺寸，称为临界尺寸。本

2、文推导出不同截面梁的临界尺寸。正方形梁的临界尺寸为边长am*30=m，矩形梁高hm*30=m，及圆形梁直径Dm*34=m为临界尺寸。凡小于临界尺寸的梁都能保证刚度要求，凡大于临界尺寸的梁都不能满足刚度要求，尺寸愈大，刚度下降的应愈利害。推导出应力理论下的转角和挠度与应矩理论下的扭角和挠度的当量关系式。同时得出：两种理论下的转角和挠度的公式形式不变。应矩理论下的转角和挠度只要把应力理论下公式中的E换成G，把I换成S即成为应矩理论下的变形公式。通过用两种理论对转角和挠度对比计wzz算得出：当梁的尺寸大于临界尺寸时

3、，应矩理论下的变形要比应力理论大的多，说明应力理论不能保证刚度要求。关键词：挠曲线微分方程，端面转角，最大挠度，临界尺寸5.1前言弯曲变形如果达不到要求会造成磨损不匀，产生噪音，降低寿命，影响加工精度等。而应矩理论得出，凡大于临界尺寸的梁，其转角和挠度都严重超标。这就找到了加工产品精品不够的根本原因。用两种理论下挠度或转角相等时，推导出来的临界尺寸与用弯曲变形能推导出来的临界尺寸完全相同。两种理论下变形公式的形式相同，只要把拉伸弹性模量E换成弯曲弹性模量；把惯性矩I换成绝对静矩S就可以了，不需要对不同形式，受

4、不同载荷zz的梁重新做一一推导。由于梁变形刚度的临界尺寸与强度的临界尺寸完全相同，因此对弯曲的细长杆及短梁下一个完整的定义：凡小于临界尺寸的梁（碳素刚圆梁为D*3≤4mm，短形和方形梁hm*3≤0m）定为细长梁；现行弹性理论的公式只适用于细长梁；凡大于临界尺寸的梁称为短粗梁，应矩理论的新公式适用于短粗梁。这就找到短粗梁断裂事故经常出现的根本原因，及转角和刚度不能满足要求的根本原因，是弹性基础理论错误造成的。5.2应矩理论下梁的挠曲线微分方程[2]正应力理论推导出梁的挠曲线近似微分方程为2dyM=（5.1）2d

5、xEIz而应矩理论认为挠曲线是由弯矩产生的，不是正应力产生的，因此不能用拉伸虎克定律推导其公式，而是要用弯曲定律和弯应矩的公式来推导。-1-http://www.paper.edu.cn图5.1梁横截面上距中性轴为y处的线应变Figure5.1linestraininthesectionofgirder(y)由图5.1（a）的矩形截面梁，在P作用下变形为凹曲线，在X处，取微段dx。其曲率半径为ρ，转角为θ。如图5.1（b）所示，在距离中性轴为Y处的线应变为ε，则有（详y见材料力学的推导）yε=（a）yρ[3]

6、由弯曲定律得y处的弯应矩为m=Gε（4.1）xzwy[3]由弯应矩公式得y处的弯应矩为M(x)m=y（4.5）xzSz把（a）式和（4.1）式代入（4.5）式，可得M(x)1=（5.2）GSρwz由高等数学可知，曲线y=f（x）的任一点曲率公式为2dy1dx2=±（b）3ρdy2[1+()]2dx由（5.2）式和（b）式，可得2ayM()xdx2=±（c）3GwSzdy22[1+()]dx（c）式就是应矩理论下的挠曲线微分方程。dydy2由于梁是小变形，且梁的挠曲线为一平缓曲线，故转角=ϑ远小于1。()比1d

7、xdxdy2更小。因此()可略。（c）式就变成dx-2-http://www.paper.edu.cn2()dyMx±=（5.3）2dxGSwz（5.3）式就是挠曲线近似微分方程。微分方程中正负号的选取。（5.3）式左边的正负号取正还是取负，决定于坐标系的选取和弯矩符号规定。2dy在选定y坐标向上的情况下，如图5.2，弯矩M(x)与二阶导数符号总是相同的。2dx2dy图5.2a中弯矩M()x是正的，而二阶导数也是正的。图5.2b中，弯矩M()x是负的，2dx而二阶导数也是负的。故（5.3）式成为2()dyMx

8、=（5.4）2dxGSwz上式就是计算挠度和转角的挠曲线近似微分方程。图5.2弯应矩与二阶导数的正负号总是相同的Figure5.2bendingMPUAhasthesamesignwithtwodegreedifferentialcoefficient5.3积分法求梁的变形dy已知梁的转角ϑ=（5.5）dxdyM(x)由（5.4）式有，ϑ==dx+c（5.6）m∫dxGSwz（5.6）式为转角方程。