2008年全国硕士研究生入学考试数学一真题

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1、2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数则的零点个数（）0.1.2.3.（2）函数在点处的梯度等于（）....（3）在下列微分方程中，从（为任意常数）为通解的是（）....（4）设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（）若收敛，则收敛.若单调，则收敛.若收敛，则收敛.若单调，则收敛.（5）设为阶非零矩阵为阶单位矩阵若，则（）不可逆，不可逆.不可逆，可逆.可逆，可逆.可逆，不可逆.（6）

2、设为3阶非零矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图，则的正特征值个数（）0.1.2.3.（7）随机变量独立同分布且分布函数为，则分布函数为（）....（8）随机变量，且相关系数，则（）....二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）微分方程满足条件的解是.（10）曲线在点处的切线方程为.（11）已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛域为.（12）设曲面是的上侧，则.（13）设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，，则的非零特征值为.（14）设随机变量服从参数为1的泊松分布，

3、则.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分10分）求极限.(16)（本题满分12分）计算曲线积分，其中是曲线上从点到点的一段.(17)（本题满分12分）已知曲线，求点距离面最远点和最近的点.(18)（本题满分12分）函数连续，，证明可导，且.(19)（本题满分12分），用余弦级数展开，并求的和(20)（本题满分9分），为的转置，为的转置（1）证；（2）若线性相关，则.（21）（本题满分9分）设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，（1）求证（2）为何值，方

4、程组有唯一解，求（3）为何值，方程组有无穷多解，求通解（22）（本题满分9分）设随机变量与相互独立，概率分布为，概率密度为，记（1）求（2）求的概率密度．（23）（本题满分9分）是总体为的简单随机样本.记，，（1）证是的无偏估计量.（2）当时，求..