《3.4.2 基本不等式的应用》教学案

《《3.4.2 基本不等式的应用》教学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3.4.2《基本不等式的应用》教学案教学教法分析(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)能够运用基本不等式解决生活中的应用问题；(2)进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题；(3)审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题．2.过程与方法整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心来进行．3．情感、态度与价值观(1)引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德；(2)进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性．●重点、难点重点：对由基本不等式推导出的命题的理解以及利

2、用此命题求某些函数的最值．突破重点的关键是对基本不等式的理解．难点：理解利用基本不等式求最值时的三个条件“一正，二定，三相等”.教学方案设计(教师用书独具)●教学建议本节课是基本不等式应用举例，是上节基本不等式的证明的延伸．整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心来进行，列出函数关系式是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一．要对学生强调，解实际问题时首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．对例题的处理可先由学生思考，然后师生共同对解题思路进行概括总结，使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和步骤．提

3、醒学生注意：(1)使用基本不等式的条件是一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小；(2)求最值常用的不等式：a＋b≥2，ab≤()2，a2＋b2≥2ab.●教学流程⇒⇒⇒⇒⇒⇒课前自主导学课标解读1.掌握基本不等式≤(a≥0，b≥0)．(重点)2.能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题(指只用一次基本不等式即可解决的问题)．(难点)知识1基本不等式与最值已知a≥0，b≥0，在运用基本不等式时，要注意：(1)和a＋b一定时，积ab有最大值；(2)积ab一定时，和a＋b有最小值；(3)取等号的条件(当且仅当a＝b时，＝)．知识2基本不等式的常见变形【问题导思】若a＞0，b＞0，则ab

4、、()2、的大小关系如何？【提示】由基本不等式≤，∴ab≤()2(两边平方)，由2ab≤a2＋b2，∴()2＝≤＝，∴ab≤()2≤.1．若a∈R，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立．2．若a>0，b>0则ab≤()2≤，当且仅当a＝b时等号成立．3．若a>0，b>0，则≤≤，当且仅当a＝b时等号成立.课堂互动探究类型1基本不等式的变形应用例1求y＝＋的最大值．【思路探究】由()2＋()2＝2(定值)，利用基本不等式的变形：≤≤，可求．【自主解答】由知定义域为x∈[－1，1]．又()2＋()2＝1－x＋1＋x＝2(定值)，∴y＝＋≤＝＝2，当且仅当1－x＝1＋x即

5、x＝0时，等号成立．∴ymax＝2.规律方法1．本例中，由于()2＋()2＝2(定值)，因而不宜使用基本不等式，应该使用不等式的变式≤.2．对于基本不等式及其变式，在利用这些不等式求最值时，要保证一侧为定值，并保证等号成立，要根据已知条件和所求，灵活地选取公式．变式训练长为50米的钢丝，截开后分别围成两个正方形，设两个正方形的边长分别为xm，ym，当x，y分别为多少时，面积和最小？最小值为多少？【解】由题意，x＋y＝＝，设面积和为S，则S＝x2＋y2≥2()2＝2()2＝，当且仅当x＝y＝时等号成立．∴当x＝y＝m时，Smin＝m2.类型2求字母参数的取值范围例2已知正数a、b满足a

6、b＝a＋b＋3，求ab的取值范围．【思路探究】思路一：将b＝代入消元；思路二：利用基本不等式≤得关于ab的不等式．【自主解答】法一由ab＝a＋b＋3，得b＝.由b＞0，得＞0.∵a＞0，∴a＞1.∴ab＝a·＝＝＝(a－1)＋＋5≥2＋5＝9.当且仅当a－1＝，即a＝3时，取等号，此时b＝3.∴ab的取值范围是[9，＋∞)．法二由于a、b为正数，∴a＋b≥2.∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，即()2－2－3≥0.∴≥3，故ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，取等号．∴ab的取值范围是[9，＋∞)．规律方法1．本题中，要求ab的取值范围，在使用已知条件等式的方法上灵活多样，但最终都归结为基本不

7、等式的应用．2．利用基本不等式，求字母参数的取值范围，关键是怎样由等式通过放缩得出不等式．互动探究若题中条件不变，如何求a＋b的取值范围．【解】法一∵ab＝a＋b＋3，∴b＝(a＞1)，∴a＋b＝a＋＝a＋＝(a－1)＋＋2≥2×2＋2＝6，当a＝b＝3时等号成立．∴a＋b的取值范围是[6，＋∞)法二∵ab≤()2，∴a＋b＋3≤()2即－(a＋b)－3≥0，解之得a＋b≥6或a＋b≤－2(舍去)，∴a＋b的取值范围是[6，＋∞).类型3利用基本不等式解实