高中数学奥赛辅导：第七讲抽屉原则、容斥原理

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1、www.canpoint.cn高中数学奥赛辅导第七讲抽屉原则、容斥原理知识、方法、技能I．抽屉原则10个苹果放入9个抽屉中，无论怎么放，一定有一个抽屉里放了2个或更多个苹果.这个简单的事实就是抽屉原则.由德国数学家狄利克雷首先提出来的.因此，又称为狄利克雷原则.将苹果换成信、鸽子或鞋，把抽屉换成信筒、鸽笼或鞋盒，这个原则又叫做信筒原则、鸽笼原则或鞋盒原则.抽屉原则是离散数学中的一个重要原则，把它推广到一般情形就得到下面几种形式：原则一：把m个元素分成n类（m>n），不论怎么分，至少有一类中有两个元素.原则二：把m个元素分成n类（m>n）（1）当n

2、m时，至少有

3、一类中含有至少个元素；（2）当n

4、m时，至少有一类中含有至少[]+1个元素.其中nm表示n是m的约数，nm表示n不是m的约数，[]表示不超过的最大整数.原则三：把个元素分成n类，则存在一个k，使得第k类至少有个元素.原则四：把无穷多个元素分成有限类，则至少有一类包含无穷多个元素.以上这些命题用反证法极易得到证明，这里从略.一般来说，适合应用抽屉原则解决的数学问题具有如下特征：新给的元素具有任意性.如10个苹果放入9个抽屉，可以随意地一个抽屉放几个，也可以让抽屉空着.问题的结论是存在性命题，题目中常含有“至少有……”、“一定有……”、“不少于……”、“存在……”

5、、“必然有……”等词语，其结论只要存在，不必确定，即不需要知道第几个抽屉放多少个苹果.对一个具体的可以应用抽屉原则解决的数学问题还应搞清三个问题：（1）什么是“苹果”？（2）什么是“抽屉”？（3）苹果、抽屉各多少？用抽屉原则解题的本质是把所要讨论的问题利用抽屉原则缩小范围，使之在一个特定的小范围内考虑问题，从而使问题变得简单明确.用抽屉原则解题的基本思想是根据问题的自身特点和本质，弄清对哪些元素进行分类，找出分类的规律.用抽屉原则解题的基本思想是根据问题的自身特点和本质，弄清对哪些元素进行分类，找出分类的规律.用抽屉原则解题的关键是利用题目中的条件构造出与题设

6、相关的“抽屉”.上犹中学sheng2181@sina.com第8页共8页www.canpoint.cnⅡ.容斥原则当我们试图对某些对象的数目从整体上计数碰到困难时，考虑将整体分解为部分，通过对每个部分的计数来实现对整体的计数是一种明智的选择.将整体分解为部分也就是将有限集X表示成它的一组两两互异的非空真子集A1，A2，…An的并集，即叫做集合X的一个覆盖.一个特殊情况是，集族中的任意两个集合都不相交，这时我们称集族为集合X的一个（完全）划分.如为集合X的划分，则对集合X的计数可通过熟知的加法公式①进行，但是，要找到一个划分并且其中所有子集易于计数的有时并非易事

7、.我们可以考虑通过对任意的集族中的子集的计数来计算

8、X

9、，当集族中至少存在两个集合的交非空时，我们称这个覆盖为集合X的不完全划分.对于集合X的不完全划分，显然有有②因为在计算

10、Ai

11、时出现了对某些元素的重复计数，为了计算

12、X

13、，就得将②式右边重复计算的部分减去，如果减得超出了，还得再加上，也就是说我们要做“多退少补”的工作.完成这项工作的准则就是容斥原理.是十九世纪英国数学家西尔维斯提出的.容斥原理有两个公式.1．容斥公式定理1设③证明：当由加法公式有结论成立.若n=k时结论成立，则由上犹中学sheng2181@sina.com第8页共8页www.canpoi

14、nt.cn知，时结论成立.由归纳原理知，对任意自然数n，公式③成立.公式③称为容斥公式，显然它是公式①的推广.如果将看成具有性质的元素的集合，那么就是至少具有n个性质之一的元素的集合.因此，容斥公式常用来计算至少具有某几个性质之一的元素的数目.2．筛法公式与容斥公式讨论的计数问题相反，有时需要计算不具有某几个性质中的任何一个性质的元素的个数，即.为此，我们先引入下面的引理.引理1设A关于全集I的补集为，则引理2引理简单证略.利用二引理改写公式③便是定理2设为有限集I的子集，则④赛题精讲例1设ABC为一等边三角形，E是三边上点的全体.对于每一个把E分成两个不相交

15、子集的划分，问这两个子集中是否至少有一个子集包含着一个直角三角形的三个顶点？（第24届IMO第4题）【证明】如图I—3—2—1，在边BC、CA、AB上分别取三点P、Q、R，使显然△ARQ，△BPR，△CQP都是直角三角形.它们的锐上犹中学sheng2181@sina.com第8页共8页www.canpoint.cn角是30°及60°.设E1，E2是E的两个非空子集，且由抽屉原则P、Q、R中至少有两点属于同一子集，不妨设P、Q∈E1.如果BC边上除P之外还有属于E1的点，那么结论已明.设BC的点除P之外全属于E2，那么只要AB上有异于B的点S属于E2，设S在BC

16、上的投影点为Ｓ′，则△SS′B为直角三