第46讲棱柱2课时

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1、第46讲棱柱（2课时）神经网络准确记忆！棱柱重点难点好好把握！重点：1．棱柱的概念和性质；2．侧面积和体积的计算；3．棱柱中线面关系的讨论。难点：棱柱中线面关系的论证。考纲要求注意紧扣！1．了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图；2．能对棱柱中的线面关系进行证明；3．能计算棱柱的侧面积和体积。命题预测仅供参考！1．常以棱柱为载体，考查有关位置关系的证明以及角和距离的计算，考查棱柱性质的应用；2．棱柱的侧面积和体积的计算。考点热点一定掌握！1．棱柱及其分类与性质⑴定义：有两个面平行，其余每相邻两个面的交线都互相平行的多

2、面体，叫做棱柱。平行的两个面叫底面，其余各面叫侧面，相邻两个面的公共边叫侧棱，两个底面间的距离叫高，过不在同一侧面内的两条侧棱作的截面叫对角面。底面是边形的棱柱叫棱柱。⑵分类：⑶性质①棱的性质：侧棱都平行且相等（直棱柱的侧棱长等于高）；②面的性质：侧面是平行四边形（直棱柱的侧面是矩形，正棱柱的各侧面都全等），两个底面是平行且全等的多边形；③截面性质：对角面是平行四边形（直棱柱的对角面是矩形），平行于底面的截面是与底面全等的多边形。⑷多面体的直观图的画法规则①如图，画三条坐标轴、、；②画多面体的一个面在水平面内；③平行、轴的线段等

3、于原长，平行轴的线段等于原长的一半。2．平行六面体及其分类与性质⑴定义：底面是平行四边形的棱柱，叫做平行六面体。⑵分类：四棱柱斜平行六面体：侧棱和底面斜交的平行六面体。直平行六面体：侧棱和底面垂直的平行六面体。长方体：底面是矩形的直平行六面体。从一顶点出发的三条棱长叫做长方体的三度。也叫做长方体的长、宽、高。正方体：三度都相等的长方体。⑶性质：平行六面体每组相对面都是平行且全等的平行四边形，平行六面体的四条对角线共点且互相平分；长方体的对角线的长相等；长方体的对角线交于一点，并且在这点互相平分；长方体的一条对角线的平方等于三度的

4、平方和；设长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别为、、，则，；设长方体的一条对角线与各面所成的角分别为、、，则，；正方体的六个面都是全等的正方形。3．棱柱的面积与体积⑴侧面积棱柱（或棱锥、棱台）的各个侧面面积之和叫侧面积；侧面积与底面积之和叫全面积。棱柱的的侧面积：底面周长侧棱长；直截面周长侧棱长（和棱柱的侧棱垂直的截面叫直截面）。⑵体积棱柱的体积：等于底面积乘以高。（长方体的体积等于它的三度的积。正方体的体积等于棱长的立方。）⑶求面积和体积常用的方法有：①利用方程（组）。②利用特殊图形性质。③利用全等或相似三角形。

5、④利用辅助量。⑤利用三角知识。例．长方体各面的面积分别为6、12、18，求其体积。分析：按常规做法，可设长方体的长、宽、高分别为、、，再解得出、、，就可以求出体积。实际上，就本题来说，我们不需要先分别解出、、，只要把上面的三个方程相乘即可得出，马上可得出。点评：有的元素在解题过程中只是起到一个桥梁作用，并非一定要将其解出来，有时可以跳越这一步。本题中的元素“边长”仅仅起了一个桥梁作用。4．棱柱的投影面问题例．正方形的边长为17，它的中心和平面相距25，∥，和平面相距21，求这个正方形在平面内的射影的面积。解：设在内的射影为，作于

6、，作于，则为正方形所在平面与的夹角。，故所求的射影的面积为。点评：本题是用方法⑤求投影面面积。4．棱柱的截面问题解决截面问题的关键是根据题意作出截面。有时还需要利用方程（组）以及三角知识。探求截面形状时，应从大类开始，例如确定一个截面是四边形后再依次考虑它能否为梯形、平行四边形、矩形、正方形。例．过正方体棱上一点和底面一条对角线画截面如图，已知正方体，是棱上任一点，过和底面的一条对角线作正方体的截面。分析：只要找出截面与正方体背面的交线即可，即只要找出截面与背面交线上的两点。现在已知截面与背面的一个交点，只要再找出一个交点。因为

7、此点应该既在截面内又在背面内，所以截面内的直线与背面内的直线的交点符合要求。第1步第2步第3步第4步例．过正方体棱上三点画截面如图，已知正方体，、、是棱上任意三点，过、、作正方体的截面。分析：只要找出截面与右侧面以及截面与背面的交线即可，因为这两个任务是类似的，即只要找出截面与右侧面交线上的两点。截面与右侧面已有一个交点，只要再找出一个交点。我们可以在截面内找一直线，同时在右侧面内也找一直线，这两直线的交点即为所求的点。符合此要求。类似地可以找出截面与背面的交线。第1步第2步第3步第4步例．正方体-，过三条棱、、的中点、、作一个

8、截面。分析：关键是找出截面与、的交点，以为例，在侧面内，所以上述交点应该是截面与侧面的公共点，故只要作出截面与侧面的交线。此交线上一点已知，只要再找一点，故找。解：如图，截面与底面的交线为，在平面内延长、交于，则是截面与侧面的一个公共点，所以两个公共点、连线与交