保险精算例题

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1、第二章【例2.1】某人1997年1月1日借款1000元，假设借款年利率为5%，试分别以单利和复利计算：（1）如果1999年1月1日还款，需要的还款总额为多少？（2）如果1997年5月20日还款，需要的还款总额为多少？（3）借款多长时间后需要还款1200元。解：（1）1997年1月1日到1999年1月1日为2年。在单利下，还款总额为：A(2)=A(0)(1+2i)=1000×(1+2×5%)=1100（元）在复利下，还款总额为：A(2)=A(0)(1+i)²=1000×(1+5%)²=1102.5（

2、元）（2）从1997年1月1日到1997年5月20日为140天，计息天数为139天。在单利下，还款总额为：1000×（1+×5%）=1019.04（元）在复利下，还款总额为：1000×=1018.75（元）（4）设借款t年后需要还款1200元。在单利下，有1200=1000×（1+0.05t）可得：t=4（年）在复利下，有1200=1000×（1+0.05）t可得：t≈3.74（年）【例2.2】以1000元本金进行5年投资，前2年的利率为5%，后3年的利率为6%，以单利和复利分别计算5年后的累积资

3、金。解：在单利下，有A(5)=1000×(1+2×5%+3×6%)=12800(元)在复利下，有A(5)+1000×(1+5%)²×(1+6%)³=13130.95(元)【例2.3】计算1998年1月1日1000元在复利贴现率为5%下1995年1月1日的现值及年利率。解：（1）1995年1月1日的现值为：1000×（1-0.05）³=857.38（元）（2）年利率为：i===0.053【例2.4】1998年8月1日某投资资金的价值为14000元，计算：（1）在年利息率为6%时，以复利计算，这笔资金

4、在1996年8月1日的现值。（2）在利率贴现率为6%时，这笔资金在1996年8月1日的现值。解：（1）以知利率时，用折现系数计算现值，14000元2年前的现值为：14000×（）2=12459.95（元）（1）用贴现率计算现值，14000元2年前的现值为：14000×（1-0.06）²=12370.4（元）6%年实际利率下一年不同结算次数的名义年贴现率m1234612∞d(m)0.056600.057430.057710.057850.057990.058130.05827【例2.5】某人以每月3

5、%的利率从银行贷款1000元，那么在复利计息下，3年后他欠银行都少钱？解：3%是月结利率，3年后的累积欠款额可以直接按36个月的复利计算本息，有1000×（1.03）36=2898.28（元）故三个月后他欠款2898.28元。【例2.6】(1)求每月结算的年利率为12%的实际利率。（2）求每月结算的年贴现率为10%的实际贴现率。（3）求相当于每月结算的年利率为12%的半年结算的贴现率。解：（1）实际利率为：i=（1+）m—1=（1+）12—1=12.68%故实际利率为12.68%。（2）实际贴现率

6、为：d=1—（1—）m=1—（1—）4=9.63%因此，实际贴现率为9.63%。（3）由（1+i）-1=1—d，有（1+）-m=（1—）n（1+）-12=（1—）2=2×[1—（1+）-6]=11.59%【例2.7】某人从银行借款4000元，这笔借款的利息每年结算4次，年利率为16%。那么，他在借款21个月后欠银行的歀为多少？解：年利率为16%，每年结算4次，也就是每3个月结算一次，每次结算的利息率为4%（16%/4=4%），21个月共结算7次（21/7=7）。这样，4000元本金在结算7次后的本

7、利和为：4000×（1+4%）7=5263.73（元）值得注意的是，在单利下，由于利率只在本金上计量，故没有名义利率和实际利率的区别。【例2.8】某人在1998年7月22日贷款4000元，如果利息力是14%，在复利下，试求解以下问题：（1）贷款额在2003年7月22日的价值。（2）年利率i。（3）名义利率解：（1）如果一致年利率i，4000元贷款额在2003年7月22日的值为4000（1+i）5。有公式（2.20），利息力与利率有如下关系：e&=1+i从而4000×（1+i）5=4000×e0.7

8、=8055.01（元）（2）由（1+i）=e0.14，的年利率为：i=e0.14—1=0.15027（3）由（2.14a）式和（2.20）式，有（1+）12=1+i=e0.14i12=12×（e0.14/12—1）=0.14082【例2.9】某人以每半年结算一次的年利率6%借款50000元，两年后他还了30000元，又过了3年再还了20000元，求7年后的欠款额为多少？解：设他在7年后的欠款额为X，有X=50000×1.0314—30000×1.0310—20000×1.034=1