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1、2019-2020年北师大版数学必修4《从力做的功到向量的数量积》练习一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．已知向量a，b满足
2、a
3、＝1，
4、b
5、＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为( )A.B.C.D.答案：C解析：由题意，知a·b＝
6、a
7、
8、b
9、cosθ＝4cosθ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝.2．下列命题正确的是( )A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若a·b＝0，则a∥bC．若a⊥b，则a·b＝(a·b)2D．a2＞
10、a
11、2答案：C解析：a·b＝0时，可能为a⊥b的情况；
12、a
13、2＝a2，故选C.3．设
14、向量a，b均为单位向量，且
15、a＋b
16、＝1，则a与b的夹角为( )A.B.C.D.答案：C解析：∵
17、a＋b
18、＝1，∴
19、a
20、2＋2a·b＋
21、b
22、2＝1，∴cos〈a，b〉＝－.又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.4．若
23、a
24、＝
25、b
26、＝1，a⊥b，且(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则k＝( )A．－6B．6C．3D．－3答案：B解析：由题意，得(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，由于a⊥b，故a·b＝0，又
27、a
28、＝
29、b
30、＝1，于是2k－12＝0，解得k＝6.5．在△ABC中，若＝a，＝b，＝c，且a·b＝b·c＝c·a，
31、则△ABC的形状是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．以上都不对答案：C解析：∵a＋b＋c＝＋＋＝0，∴a＋b＝－c.又∵a·c＝b·c，即(a－b)·c＝0，∴－(a－b)·(a＋b)＝0，即
32、a
33、＝
34、b
35、.同理，
36、a
37、＝
38、c
39、，
40、b
41、＝
42、c
43、，故
44、a
45、＝
46、b
47、＝
48、c
49、.6．在边长为的正三角形ABC中，设＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋c·a等于( )A．－3B．0C．1D．2答案：A解析：a·b＋b·c＋c·a＝b·(a＋c)＋c·a＝b·(－b)＋c·a＝－b2＋c·a＝－2＋··cos＝－3.
50、二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．已知
51、a
52、＝4，a与b的夹角θ为30°，则a在b方向上的投影为________．答案：2解析：a在b方向上的投影为
53、a
54、·cosθ＝4×cos30°＝2.8．向量a与b满足
55、a
56、＝2，
57、a＋b
58、＝3，
59、a－b
60、＝3，则
61、b
62、＝________.答案：解析：
63、a＋b
64、2＝
65、a
66、2＋2a·b＋
67、b
68、2＝9，∴2a·b＝9－
69、a
70、2－
71、b
72、2＝5－
73、b
74、2.①
75、a－b
76、2＝
77、a
78、2－2a·b＋
79、b
80、2＝9.∴2a·b＝
81、a
82、2＋
83、b
84、2－9＝
85、b
86、2－5.②∴
87、b
88、＝.9．如图，在平
89、行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是__________．答案：22解析：由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以·＝2，即2－·－2＝2.又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.三、解答题：(共35分，11＋12＋12)10．已知e1与e2是两个夹角为60°的单位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求a与b的夹角．解析：因为
90、e1
91、＝
92、e2
93、＝1，所以e1·e2＝1×1×cos60°＝，
94、a
95、2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1·e2＝7，故
96、a
97、＝，
98、b
99、2＝(
100、2e2－3e1)2＝4＋9＋2×2×(－3)e1·e2＝7，故
101、b
102、＝，且a·b＝－6e＋2e＋e1·e2＝－6＋2＋＝－，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，所以a与b的夹角为120°.11．已知
103、a
104、＝
105、b
106、＝2，a·b＝－2，(a＋b)⊥(a＋tb)，求实数t的值．解析：由题意，得(a＋b)·(a＋tb)＝0，∴a2＋(t＋1)a·b＋tb2＝0，即4＋(t＋1)×(－2)＋4t＝0，得t＝－1.12．已知向量a，b满足
107、a
108、＝1，
109、b
110、＝4，且a，b的夹角为60°.(1)求(2a－b)·(a＋b)；(2)若(a＋b)⊥(λ
111、a－2b)，求实数λ的值．解析：(1)由题意，得a·b＝
112、a
113、·
114、b
115、cos60°＝1×4×＝2.∴(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋a·b－b2＝2＋2－16＝－12.(2)∵(a＋b)⊥(λa－2b)，∴(a＋b)·(λa－2b)＝0，∴λa2＋(λ－2)a·b－2b2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0，∴λ＝12.
