《1.3.2 空间几何体的体积》同步练习

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1、《1.3.2　空间几何体的体积》同步练习一、填空题1．若一个球的体积扩大到原来的27倍，则它的表面积扩大到原来的________倍．【解析】　由题意可知球的半径扩大前后的比值为1∶3，故其表面积扩大后是扩大前的9倍．【答案】　92．(2013·郑州检测)若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则它的体积等于________．【解析】　由题意可知2πr＝4，∴r＝，故圆柱的体积V＝π()2×4＝.【答案】　3．(2013·潍坊检测)正四棱锥的底面边长为6，体积为12，则它的斜高为________．【解析】

2、　设正四棱锥的高为h，由题意可知×62×h＝12，∴h＝.由正四棱锥的性质可知h斜＝＝＝4.【答案】　44．(2013·中山检测)已知球的某截面的面积为16π，球心到该截面的距离为3，则球的表面积为________．【解析】　设球的半径为R，由题意可知截面圆的半径r，满足πr2＝16π，∴r＝4.由圆的几何性质可知：32＋42＝R2.∴R＝5.∴球的表面积S＝4πR2＝100π.【答案】　100π5．如图1－3－9，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之

3、比为__________．图1－3－9【解析】　设球的半径为R，则V柱＝πR2·2R＝2πR3，V锥＝πR2·2R＝πR3，V球＝πR3，∴V柱∶V锥∶V球＝2πR3∶πR3∶πR3＝3∶1∶2.【答案】　3∶1∶26．(2012·江苏高考)如图1－3－10，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________cm3.图1－3－10【解析】　关键是求出四棱锥A－BB1D1D的高．连结AC交BD于O，在长方体中，∵AB＝AD＝3，∴B

4、D＝3且AC⊥BD.又∵BB1⊥底面ABCD，∴BB1⊥AC.又DB∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D1D，∴AO为四棱锥A－BB1D1D的高且AO＝BD＝.∵S矩形BB1D1D＝BD×BB1＝3×2＝6，∴VA－BB1D1D＝S矩形BB1D1D·AO＝×6×＝6(cm3)．【答案】　6图1－3－117．圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图1－3－11所示)，则球的半径是________cm.【解析】　设球的半径为Rcm，

5、则πR2×8＋πR3×3＝πR2×6R，解得R＝4.【答案】　4图1－3－128．(2013·淮安检测)如图1－3－12，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，AD＝4，AA1＝3，分别过BC、A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1＝VAEA1－DFD1，V2＝VEBE1A1－FCF1D1，V3＝VB1E1B－C1F1C，若V1∶V2∶V3＝1∶4∶1，则截面A1EFD1的面积为________．【解析】　V1∶V2∶V3＝1∶4∶1，又棱柱AEA1－DFD1，EBE1

6、A1－FCF1D1，B1E1B－C1F1C的高相等，∴S△A1AE∶SA1EBE1∶S△BB1E1＝1∶4∶1.∴S△A1AE＝×S四边形A1ABB1＝×3×6＝3，即×3×AE＝3.∴AE＝2.在Rt△A1AE中，A1E＝＝，∴截面A1EFD1的面积为4.【答案】　4二、解答题9．(2012·福建高考)如图1－3－13，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．图1－3－13求三棱锥A－MCC1的体积．【解】　由长方体ABCD－A1B1C1D1知，AD⊥

7、平面CDD1C1，∴点A到平面CDD1C1的距离等于AD＝1.又S△MCC1＝CC1·CD＝×2×1＝1，∴VA－MCC1＝AD·S△MCC1＝.图1－3－1410．(2013·福建师大检测)如图1－3－14，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．【解】　由图可知V半球＝×πR3＝×π×43＝π(cm3)；V圆锥＝πr2h＝π×42×12＝64π(cm3)；因为V半球

8、－3－1511．甲、乙是边长为4a的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个四棱柱(底面为正方形)，将乙裁剪焊接成一个四棱锥(底面为正方形，顶点在底面的射影在底面中心)，使它们的表面积都等于这个正方形的面积(不计焊接缝的面积)．(1)将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明．(2)试比较你所制作的四棱柱与四棱锥体积的大小，并证明你的结论．　　　甲　　　　　　乙【解】　(1)将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边