(化学)基本方程组的数值求解

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1、3．时间导数项的差分在时间坐标上，一个显著的特点是只有一阶导数项，没有高阶导数项，考虑定常二维边界层方程其中在方向也只有一阶导数，可称为类时间坐标此处的讨论同样适用于有类时间坐标的问题。时间导数项在控制容积上积分，得（45）这里假定、在整个控制容积中是均匀的，网格不随时间而变在时间导数项的差分式子中，包含了两个时间层（在类时间坐标上是两个截面）的参数值与此相对应，其它坐标方向的对流项、扩散项以及源项中的参数，在时间层上可以有不同的取法，因而可以得到显式、隐式和克兰克-尼科尔森（Crank-Nicholson）格式1）显式差分格式（46）2）隐式差分格式（47）3）克兰克-尼科尔森

2、格式若对流项、扩散项和源项中的参数都取两个时间层上的算术平均值，可得差分方程（48）克兰克-尼科尔森格式的差分方程也需要与其它结点的差分方程联立求解。当时间步长较小时，其精度比隐式格式高。4、源项的差分设源项在控制容积内均匀，并等于中心点的值，则有（49）微分方程离散化后得到的是一个拟线性代数方程，但源项往往是参数的非线性函数为能够用解线性代数方程的方法求解差分方程，需要将源项线性化源项线性化有两种办法:一是用前一时刻的参数代入源项，算得的值作为常数参加下一时刻（或下一循环）的计算；二是假定源项与参数的函数关系可以近似用式子（50）表示代入差分方程得（51）其中Sc和Sp可能也是

3、的函数，因此式（50）也是拟线性关系。第二种办法优于第一种办法为了使拟线性代数方程组收敛，得到有意义的解，Sc和Sp必须满足,（52）在满足条件（52）的基础上，和的确定有一定的任意性。一个方便的办法是用切线使其线性化，即令（53）这时，按照切线法得到的和往往很复杂，而且不一定满足条件（52）比较多的是用经验办法来确定五、代表方程组的求解1、概述采用有限容积法在已生成的网格上将所求解变量的控制方程离散后，就形成了各求解变量的代数方程组求解离散化所得的代数方程组是流动与燃烧过程数值计算的最后一个环节求解的方法有两大类：直接解法与迭代法迭代法的研究主要是研究收敛性以及如何加快收敛速度

4、求解代数方程的解法包括Gauss消元法、三对角阵（TDMA）算法、五对角阵（PDMA）算法等现有文献中求解由QUICK等高阶格式形成的代数方程组时多采用TDMA方法求解，TDMA算法是Gauss消元法的一种特例（每一行上仅三个非零元素）2.Gauss消元法3.TDMA算法对图1中S-N方向的网格线进行计算时，差分方程需重新整理为（56）方程右端各项是邻近网格线上的结点值（或源项），取前一循环得到的值，故为已知值每个节点的代数方程中最多只包含三个节点的未知值，可以认为其它节点上未知值的系数均为零如果把上述有限差分离散方程组写成矩阵的形式，其系数阵是一个三对角阵—仅对角元素及其上下邻

5、位上的元素不为零，而其它元素均为零把Gauss消元法应用于这种情形，便构成了称为三对角阵算法的有效求解方法，简记为TDMA（TridiagonalMatrixAlgorithm）（57）对于这种系数矩阵为三对角线矩阵的方程组，TDMA求解的具体步骤是：（1）第一个方程的各项除以B1，得，，。第二个方程减去化简后的第一个方程乘以A2，并将所得新方程的各项除以（），最后得对第三个以后的每个方程都作同样的处理，得到方程组系数的通式为：（58）（2）自下而上的解方程……解的通式为（59）若有两个或三个坐标是椭圆型的，则需对各椭圆型方向都进行逐线迭代扫描对两个或三个方向各作了一次逐线计算，

6、称为进行了一次双重或三重扫描，也叫一个迭代循环重复多重扫描，直至两次相继迭代得出的值差别不大为止。把最后结果作为n时间层的值对每条网格线进行计算时，边界条件很快传入流场内部，因此收敛速率比逐点迭代快得多。隐式差分方程的逐线迭代解法对时间步长也无限制，因此在实际中得到广泛的应用六、压力和速度之间的耦合1、引言若知道流场中压力的分布，则动量方程的求解与其它方程完全一样，不会产生困难但是压力值一般都是预先不知道的在可压流中，压力与密度间的关系由状态方程确定，需通过连续方程和状态方程确定在不可压流中，流场中的压力分布对速度场有很强的影响，压力梯度以源项形式出现在动量方程中，但压力却没有独

7、立的控制方程在计算流体力学的发展过程中，提出了多种不同的方法，来解决在以速度、压力为求解变量的原始变量法中的这个问题大致可分为：涡量-流函数方法、压力修正方法、压力与速度之间的迭代算法等几种。以压力修正方法中的SIMPLE系列方法应用最为广泛2．压力修正方法的基本思想在求解不可压缩流体的流场问题时，如果我们把从动量方程与连续性方程离散得到的代数方程组联立起来直接求解，就可以得到各速度分量及相应的压力值这样的直接解法要占用大量的计算机内存，对于目前大多数工程应用场合还不适用如果采用