24.1.2 垂直于弦的直径(1)

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1、24.1.2垂直于弦的直径(1)学习目标1．理解圆的轴对称性，会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题；2．感受类比、转化、数形结合、方程等数学思想和方法，在实验、观察、猜想、抽象、概括、推理的过程中发展逻辑思维能力和识图能力．学习重点：垂径定理及其推论．赵州桥又名安济桥，建于隋大业(公元605-618)年间，距今已1400年，是著名匠师李春建造。主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦）长37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，是当今世界上跨度最大、建造最早的单孔敞肩型石拱桥。你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？37.47.2如图，AB是⊙O的一条弦，做

2、直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？·OABCDE活动二（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2）线段：AE=BEAD=BD,AC=BC⌒⌒⌒⌒·ABCDOPAP=BP，AC=BC，AD=BD⌒⌒⌒⌒求证：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为P。已知：连接OA,OB,则OA=OB.∵OA=OB，OP⊥ＡＢ，∴AP=BP.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒A

3、D和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒AD=BD.证明:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。垂径定理：·ABCDOP①直线CD过圆心O②CD⊥AB几何语言：③AP=BP④AD=BD⑤AC=BC⌒⌒⌒⌒①直线CD过圆心O②CD⊥AB垂径定理：③AP=BP④AD=BD⑤AC=BC⌒⌒⌒⌒·ABCDOP如果交换垂径定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的结论呢？①直线CD过圆心O③AP=BP②CD⊥AB④AD=BD⑤AC=BC⌒⌒⌒⌒?例1如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离（弦心距）为3厘米，求⊙O的半径。.AEBO求圆中有

4、关线段的长度时,常借助垂径定理转化为直角三角形,从而利用勾股定理来解决问题.变式一:在⊙O中,直径为10cm,弦AB的长为8cm,求圆心O到AB的距离.变式二:在⊙O中,直径为10cm,圆心O到AB的距离为3cm,求弦AB的长.思考:若圆心到弦的距离用d表示,半径用r表示,弦长用a表示,这三者之间有怎样的关系?BCOAED图形分析：1、△ABC是等腰三角形（OE是△ABC的AB边上的高，AB边上的中线，∠AOB的角平分线。）2、Rt△AOE≌Rt△BOE（勾股定理）①直线CD过圆心O③AP=BP②CD⊥AB④AD=BD⑤AC=BC⌒⌒⌒⌒条件结论垂径定理的推

5、论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（为什么不能是直径）·ABCDOP几何语言:①CD是直径,②CD⊥AB,③AM=BM⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.如果具备上面五个条件中的任何两个，那么一定可以得到其他三个结论吗？用文字语言叙述如下：一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦;(4)平分弦所对优弧;(5)平分弦所对的劣弧.只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.●OABCD└M推广(4)若，CD是直径,则、、.(1)若CD⊥AB,CD是直径,则、、.(2)若AM=MB,CD是直径,则、、.(3)若CD

6、⊥AB,AM=MB,则、、.1.如图所示:练习●OABCD└MAM=BM⌒⌒AC=BC⌒⌒AD=BDCD⊥AB⌒⌒AC=BC⌒⌒AD=BDCD是直径⌒⌒AC=BC⌒⌒AD=BD⌒⌒AC=BCCD⊥ABAM=BM⌒⌒AD=BDBCOAED.如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．若AB=8，AO=5则，OE=，DE=。思路指导：求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定理转化为直角三角形,从而利用勾股定理来解决问题.BCOAED.如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．若AB=8，OE=3则，AO=，DE=，BCOAED.

7、如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．若OE=3，AO=5则，AB=，DE=，BCOAED.如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．若OE=3，DE=2则，AO=，AB=，BCOAED.如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．若DE=2，AO=5则，OE=，AB=，BCOAED.如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．若AB=8，DE=2则，OE=，AO=，ＯＡＢＣＤＥ练习：ＡＢ是⊙Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，Ｅ为垂足，若ＡＥ＝９，ＢＥ＝１，求ＣＤ的长．如图，⊙O的半径为5

8、，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长