勾股定理 上海市洪山中学 仇羽翔

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1、19.9勾股定理上海市洪山中学仇羽翔一、教学目标：1.体验勾股定理的探索过程，由特例猜想勾股定理，再由特例验证勾股定理．2.初步掌握勾股定理，能用勾股定理解决基本的有关证明或计算问题。3.经历观察、归纳、猜想、探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．二、教学重点、难点1.探索和验证勾股定理．2.在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理．三、教学流程这节课，我们来继续研究直角三角形．观察下图，并回答问题：（1）观察图1．正方形A中含有_________个小方格，即A的面积是_________个单位面积；正方形B中含有_____

2、____个小方格，即B的面积是_________个单位面积；正方形C中含有_________个小方格，即C的面积是_________个单位面积．（2）在图2、图3中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？你是如何得到上述结果的？与同伴交流．（3）请将上述结果填入下表，你能发现正方形A，B，C的面积关系吗？A的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）图1图2图3A，B，C的面积为什么会有这种关系呢？我们接着观察这三个图，你能发现什么？三个正方形的边长分别是以直角三角形的三边为边长得到的．那么，（3）的结论即C的

3、面积=A的面积+B的面积与三角形有什么关系？这个关系说明什么？大家可以讨论、交流．［生］C是斜边上的正方形，所以C的面积是斜边的平方；A，B是两直角边上的正方形，所以A，B的面积分别是这两条直角边的平方．根据A，B，C的面积关系，我们不难发现：斜边的平方就等于两直角边的平方和．但是，我们也不难发现上面3个图中的直角三角形是等腰直角三角形？如果不是等腰直角三角形，而是一般的直角三角形，会不会也有这种三边关系呢？2．做一做（1）观察图4，图5，并填写下表：A的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）图4图5你是怎样得到上面结果的？与

4、同伴交流．（2）三个正方形A，B，C的面积之间的关系？（让学生先独立思考，然后填写上面的表格．最后以小组为单位充分交流各自的想法，特别是在计算斜边上的正方形的面积即正方形C的求法）A的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）41692554913我们先来观察图4，不难看出A，B分别含有16个小方格，9个小方格，所以A、B的面积分别为16个单位面积，9个单位面积，但斜边上的正方形C的面积的计算较为复杂，我们可用以下几种方法求得：第一种方法：将正方形C分割成4个直角边长分别为3、4全等的直角三角形和中间的一个小方格，利用计算三角形面

5、积的公式可得正方形C的面积为4×（×3×4）+1=24+1=25个单位面积．第二种方法：直接数正方形C中含有多少个小方格，但需要适当的拼凑，在第一种方法中，我们将正方形分割成5部分，直角三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ和一个小方格，其中直角三角形Ⅰ、Ⅲ可拼凑成一个长和宽分别为3和4的长方形，含有12个小方格，同理Ⅱ、Ⅳ也可拼凑成12个小方格，所以正方形C中共有12+12+1=25个小方格即C的面积为25个单位面积．第三种方法：可将直角三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ沿正方形C的边外翻，就得到一个边长为7个单位长度的正方形，这时正方形C的面积就为（49－1）÷2+1=2

6、5个单位面积．图5与图4同理．我们从上表不难发现16+9=25，4+9=13即C的面积=A的面积+B的面积．正方形A，B，C的面积分别是直角三角形两条直角边的平方和斜边的平方，根据三个正方形的面积关系，我们不难发现，在这个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．由图5我们也可得出同样的结论．在直角三角形中，两条直角边长度的平方和等于斜边的平方．这是由前面几个特例猜想出来的，是否合理呢？我们不妨作几个直角三角形检验一下．例如，作一个分别以5厘米、12厘米为直角边的直角三角形，然后测量斜边的长度，通过计算看一下直角三角形三边的规律还成立吗？

7、1．作一个直角∠MCN；2．以C为圆心，分别以5厘米、12厘米为半径画弧交CM、CN于点A，B；3．连结AB．用刻度尺量出斜边AB的长度（强调注意测量的误差）为13厘米．经检验斜边AB2=132=169，两直角边平方和AC2+BC2=52+122=25+144=169．即两直角边的平方和等于斜边的平方．通过特例猜想、检验，我们不难发现，直角三角形的三边的规律是成立的，这就是我们将要介绍的重点内容——勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．读一读：古代人就对勾股定理有

8、过深入的研究，几大文明古国都有相应的勾股定理的记载．我国是最早发现勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角．如