高中数学选修11《导数与其应用》知识点讲义

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1、--第三章导数及其应用一、变化率与导数1、定义：设yfx在xx0处取得一个增量xx0.函数值也得到一个增量y,称y为从x0到x0x的平均变化率.若当时xx0时，有极限存在，则称此极限值为函数y在xx0处的瞬时变化率，记为limylimfx0xfx0，也称为函xxx0x0数y在xx0处的导数，记作f＇x0或y＇xx,0即f＇x0limfx0xfx0.x0x说明：导数即为函数yfx在xx0处的瞬时变化率.2、几何意义:x0时，Q沿fx图像无限趋近于点P时，切线PT的斜率.＇即fx0kPT.、导函数（简称为导数）3yf＇＇＇＇ylimfxxfxx称为导函数，记作y，即fx=y=limx.x

2、0x0x二、常见函数的导数公式1若f(x)c(c为常数)，则f(x)0；2若f(x)x,则f(x)x1;3若f(x)sinx,则f(x)cosx----4若f(x)cosx,则f(x)sinx;----5若6若f(x)ax,则f(x)ex,则f(x)axlnaf(x)ex----7若f(x)logax,则f(x)1xlna8若f(x)lnx,则f(x)1x----三、导数的运算法则1.[f(x)g(x)]f(x)g(x)2.[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)3.[f(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)[g(x)]2四、复合函数求导yf(u)和ug(x

3、),称则y可以表示成为x的函数,即yf(g(x))为一个复合函数，则yf(g(x))g(x)五、导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:（1）在某个区间(a,b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间单调递减.说明：①若fx在定义域区间上不是单调的，则常常用f＇的点划分fx的单调区间.x=0②若f＇x在某个区间恒有f＇x，则fx是常函数；若f＇x在某个区间内只有有0限个点使f＇x，其余恒有f＇x0,则x仍为增函数.0f例如：fxx3在R上有f＇0，其余恒有f＇x，x3仍为R上的增函数，00,fx其函数图像为：（2）

4、求单调区间的步骤：①求fx的定义域；----②求导f＇x；③令f＇x0，解集在定义域内的部分为增区间.④令f＇x0，解集在定义域内的部分为减区间.----说明：当函数有多个递增区间或递减区间时，不能用“”“、或”相连，应该用“”，隔开或用“和”.----（）一种常见的题型：3已知函数的单调性求参数的取值范围，利用若单调递增，则f＇x；若fx单调递减，“fx0则f＇x0?来求解，注意等号不能省略，否则可能漏解！2.函数的极值与导数（1）极大、极小值得定义：①若对x0附近的所有的点，都有fxfx0②若对x0附近的所有的点，都有fxfx0且fx0=0，则称fx0是函数fx的一个极且fx0=

5、0，则称fx0是函数fx的一个极大值称是极大值点.小值称x0是极小值点..x0.说明：极大值与极小值统称为极值，极大值与极小值点统称为极值点，极值点是实数而不是点.（2）求函数的极值的步骤：①确定定义区间，求导f＇x；②求方程f＇x=0的解x0；③检查x0左右两边f＇x的符号：I、如果在x0附近的左侧f＇x0,右侧f＇x0,那么fx0是极大值;II、如果在x附近的左侧f＇x0,右侧f＇x0,那么fx0是极小值;0III、如果在x0左右两侧导函数不改变符号，那么fx在x0处无极值.说明：在解答过程中通常用列表：----3、函数的最值与导数求函数yf(x)在[a,b]上的最大值与最小值的

6、步骤①求函数yf(x)在(a,b)内的极值；②将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.说明：“最值”是整体概念，“极值”是个局部概念.4、生活中的优化问题解决优化问题的基本思路：扩展：常见的导函数构造函数型：1、关系式为“加”型----1f/xfx0构造ex/f/xfxfxex/----2xf/3xf/xfx0构造xfxxf/xfxxnfx0构造xnfx//xnxn1fxxn1xf/xnfxxnf----注意对x的符号进行讨论2、关系式为“减”型----1f/2xf/3xf/----xfx0构造fxf/xexfx

7、exf/xfxx2x2exeefx//xfxxfx0构造xfxx2fx//xnxn1fxxf/xnfxxnfx0构造xnfxnxn2xn1注意对x的符号进行讨论------