高中数学典型例题解析导数与其应用

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1、-高中数学典型例题分析第十章导数及其应用§10.1导数及其运算一、知识导学1.瞬时变化率：设函数yf(x)在x0附近有定义，当自变量在xx0附近改变量为x时，函数值相应地改变yf(x0x)f(x)，如果当x趋近于0时，平均变化率yf(x0x)f(x0)趋近于一个常数c（也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝xx对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数c称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率。2.导数：当x趋近于零时，f(x0x)f(x0)趋近于常数c。可用符号“”记x作：当x0时，f(x0x)f(x0)c或

2、记作lim0f(x0x)f(x0)c，符号xxx“”读作“趋近于”。函数在x0的瞬时变化率，通常称作f(x)在xx0处的导数，并记作f(x0)。3.导函数：如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a,b)可导。这样，对开区间(a,b)内每个值x，都对应一个确定的导数f(x)。于是，在区间(a,b)内，f(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数yf(x)的导函数。记为f(x)或y（或yx）。4.导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设f(x)，g(x)是可导的，则

3、(f(x)g(x))f(x)g(x)即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。2）函数积的求导法则：设f(x)，g(x)是可导的，则[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数----乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。----3）函数的商的求导法则：设f(x)，g(x)是可导的，g(x)0，则----f(x)g(x)g(x)f(x)f(x)g(x)g2(x)----5.复合函数的导数:设函数u(x)在点x处有导数

4、ux(x),函数yf(u)在点----x的对应点u处有导数yuf(u),则复合函数yf[(x)]在点x处有导数,且----yxyuux.----6.几种常见函数的导数：(1)C0(C为常数)(2)（xn）nxn1(nQ)(3)(sinx)cosx(4)(cosx)sinx(5)(lnx)1(6)(logax)1logaexx(7)(ex)ex(8)(ax)axlna二、疑难知识导析1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率2.运用复合函数的求导法则yxyuux,应注意以下几点（1）利

5、用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导.----(2)要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常----出现如下错误，如(cos2x)sin2x实际上应是2sin2x。----(3)求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如y14选成y1，uv4,v1w,w3x计算起来就复杂了。(13x)u3.导数的几何意义与物理意义导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时速度。对导数的几何意义与物理意义

6、的理解，有助于对抽象的导数定义的认识，应给予足够的重视。4.f(x0)与f(x)的关系f(x0)表示f(x)在xx0处的导数，即f(x0)是函数在某一点的导数；f(x)表示函----数f(x)在某给定区间(a,b)内的导函数，此时f(x)是在(a,b)上x的函数，即f(x)是在(a,b)内任一点的导数。5.导数与连续的关系若函数yf(x)在x0处可导，则此函数在点x0处连续，但逆命题不成立，即函数yf(x)在点x0处连续，未必在x0点可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件。6.可以利用

7、导数求曲线的切线方程由于函数yf(x)在xx0处的导数，表示曲线在点P(x0,f(x0))处切线的斜率，因此，曲线yf(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程可如下求得：（1）求出函数yf(x)在点xx0处的导数，即曲线yf(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率。（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：yy0f(x0)(xx0)，如果曲线yf(x)在点P(x0,f(x0))的切线平行于y轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为xx0.三、经典例题导讲[例1]已知y(1cos2

8、x)2,则y.1(x21)(x1)[例2]已知函数f(x)2判断f(x)在x=1处是否可导？1(x1)(x1)2分析：分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导.左右极限是否存在且相等。点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即limf(x0x)f(x0)，△x→0，x0x----＋－，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验包括△x→0，与△x→0----