《3.2.1 几个幂函数的导数》课件

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1、【课标要求】1．理解各个公式的证明过程，进一步理解运用概念求导数的方法．2．掌握常见函数的导数公式．3．灵活运用公式求某些函数的导数．4．2导数的运算4．2.1几个幂函数的导数常见基本初等函数的导数公式：(1)(c)′＝(c为常数函数)；(2)(xα)′＝(α≠0)；(3)(ex)′＝；(4)(ax)′＝(a>0，a≠1)；(5)(lnx)′＝(x>0)；自学导引0αxα－1exax(lna)(6)(logax)′＝(a>0，a≠1，x>0)；(7)(sinx)′＝；(8)(cosx)′＝；(9)(

2、tanx)′＝；(10)(cotx)′＝.cosx－sinx求函数f(x)＝sinx和g(x)＝cosx的导数．提示f′(x)＝(sinx)′＝cosx，g′(x)＝(cosx)′＝－sinx.要注意在这两个函数的导数公式中符号的区别．另外可以发现，若令f1(x)＝sinx，fk＋1(x)＝[fk(x)]′(k∈N＋)，则f2(x)＝cosx，f3(x)＝－sinx，f4(x)＝－cosx，f5(x)＝sinx，于是函数fk＋1(x)(k∈N＋)的结果具有周期性(周期为4)．自主探究答案D预习测评答

3、案B答案11．c′＝0(c为常数)y′＝0表示函数y＝c图象上每一点处切线的斜率都为0.若y＝c表示路程关于时间的函数，则y′＝0可以解释为　　某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．2．x′＝1y′＝1表示函数y＝x图象上每一点处切线的斜率都为1.若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速直线运动．要点阐释几个常用函数的导数的函义y′＝2x表示函数y＝x2图象上点(x，y)处切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在

4、一点的瞬时变化率来看，y′＝2x表明：当x＜0时，随着x的增加，y＝x2减少得越来越慢；当x＞0时，随着x的增加，y＝x2增加得越来越快．若y＝x2表示路程关于时间的函数，则y′＝2x可以解释为某物体作变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x.3．(x2)′＝2x点评熟练掌握导数基本公式，并灵活运用对数性质及三角变换公式，转化为基本初等函数的导数．如图，质点P在半径为1m的圆上沿逆时针做匀角速运动，角速度1rad/s，设A为起始点，求时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度．解时刻为t时，∵角速度1rad

5、/s，∴∠POA＝1·t＝trad，∴∠MPO＝∠POA＝trad，∴OM＝OP·sin∠MPO＝1·sint，∴点M的运动方程为y＝sint，∴v＝y′＝(sint)′＝cost(m/s)，即时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度为costm/s.题型三　导数的应用【例3】点评要求时刻t时M点的速度，首先要求出在y轴上的运动方程，它是关于t的函数，再对t求导，就得到M点的速度了．路灯距地平面为8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直线离开路灯

6、，求人影长度的变化率v.3．[错解]y′＝x·3x－1错因分析混淆了幂函数与指数函数的求导公式，而套用了幂函数y＝xα的求导公式：y′＝(xα)′＝α·xα－1.[正解]根据求导公式，若y＝ax(a>0，且a≠1)，则y′＝axlna，得y′＝(3x)′＝3xln3.纠错心得熟记基本初等函数导数公式特别是指数函数与幂函数、正弦函数y＝sinx与余弦函数y＝cosx的导数.误区警示　对求导公式记忆不牢致错【例4】求函数y＝3x的导数．