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《概率论第七章参数估计2区间估计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三节区间估计譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极大似然估计为1000条.若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信N的真值位于其中.这样对鱼数的估计就有把握多了.实际上，N的真值可能大于1000条，也可能小于1000条.也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.湖中鱼数的真值[]这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平.习惯上把置信水平记作，这里是一个很小的正数.一.置信区间与置信度区间估计要求根据样本给出未知参数的范围，并保证真参数以指定的较大概率属于这个范围。定义：设总体含一待估参
2、数对于样本找出两个统计量使得：称区间为的置信区间，为该区间的置信度是一个随机区间；给出该区间含真值的可靠度。可能性。表示该区间不包含真值的区间通常,采用95%的置信度,有时也取99%或90%.即置信度为这时重复抽样100次,则在得到的100个区间中包含真值的有95个左右,不包含真值的有5个左右。例如若具体的计算方法⑴由样本寻找一个样本函数，其中只含有一个未知参数θ⑵对于给定的置信水平，找a,b使得⑶由解出等价的不等式是θ的置信度为的置信区间。⑵对于给定的置信水平，找a,b使得二、正态总体均值与方差的区间估计设为总体的一个样本设已知方差且是的一个无偏点估计，置信度下，来确定的置信区间⑴已知
3、方差，估计均值μ又对于给定的置信度查正态分布表，找出临界值使得：由此可找出无穷多组通常我们取对称使：且区间由上点的定义式,推得，随机区间：查正态分布表找出得：所以μ的置信水平为1-α的置信区间为简记为例若取查表得值算得样本均值的观察值则得到一个置信度为0.95的μ的置信区间，若由一个样本注：μ的置信水平1－α的置信区间不唯一。上例中同样给定,可以取标准正态分布上α分位点-Z0.04和Z0.01，则也有则μ的置信度为0.95的置信区间为但对称时的区间长度最短。194页例1：已知幼儿身高服从正态分布，现从5~6岁的幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：115,120131,115,109,1
4、15,115,105,110cm;假设标准差置信度为95%;试求总体均值的置信区间解：已知由样本值算得：查正态分布表得由此得置信区间：例2：从一批零件中随机抽取16个,测得长度（单位:厘米)为2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11设零件长度求总体均值的置信水平为0.90的置信区间。解：查表得所以的置信水平为0.90的置信区间为即:例3：设总体问需要抽取容量为多大的样本,才能使的置信水平为0.95的置信区间的长度不大于0.49?解:设需要抽取容量为的样本,其样本均值为查表
5、得于是的置信水平为0.95的置信区间为该区间长度要使只要即取⑵方差未知，估计均值μ所以μ的置信水平为1-α的置信区间为简记为例4：用仪器测量温度,重复测量7次,测得温度分别为:115,120,131,115,109,115,115cm;设温度在置信度为95%时,试求温度的真值所在范围。解：设是温度的真值，是测量值已知由样本值算得：得区间：查表例5：对某种型号飞机的飞行速度进行15次试验,测得最大飞行速度(单位:米/秒)为420.3,425.8,423.1,418.7,438.3,434.0,412.3,431.5最大飞行速度服从正态分布.求飞机最大飞行速度422.2,417.2,425.
6、6413.5,441.3,423.0,428.2,根据长期经验,可以认为的期望值的置信水平为0.95的置信区间。解:以表示该飞机的最大飞行速度,则查表得由于总体方差未知,因此的置信水平为0.95的置信区间为:即:由3）方差的区间估计设为总体的一个样本是的无偏估计并且样本函数：由于分布无对称性即：由分布表的构造置信区间：即标准差σ的一个置信水平为的置信区间注意：在密度函数不对称时，如习惯上仍取和对称类似的分位点，但其置信区间的长度并不最短。例6：在某班级中,随机抽取25名同学测量其身高,算得平均身高为170cm,标准差为12cm.假设所测身高近似服从正态分布,求该班学生平均身高和身高标准差
7、的0.95置信区间。解：设身高由题设得(1)的0.95置信区间为(2)即:的0.95置信区间为即:的0.95置信区间为所以设某机床加工的零件长度16个零件，测得长度（单位：mm）如下：12.15,12.12,12.01,12.08,12.09,12.16,12.03,12.01,12.06,12.13,12.07,12.11,12.08,12.01,12.03,12.06,在置信度为95%时，试求总体方差的置信区间例7：今抽查解:已
