2立体几何复习(2)

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1、刘克江兰炼二中本章小结yyyy年M月d日星期知识网络构建热点专题一、平行关系判定线面平行的方法有：①线面平行的判定定理；②平面与平面平行的性质定理．判定两个平面平行的方法有：①定义法；②利用判定定理；③利用判定定理的推论；④垂直于同一条直线的两个平面平行；⑤平行于同一平面的两个平面互相平行．[例1]已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面．下列命题中正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n[分析]举反例是解决本题的方

2、法．[解]A项m与n可能相交，可能异面，故不正确；B项α与β可能是相交平面，故不正确；C项α、β有可能相交，故不正确；D项同时和一个平面垂直的两条直线互相平行，故正确．[答案]D[点评]解选择题要灵活，不要小题大做，只要能得出正确结果就可以，常采用筛选法，排除法，代入验证法等方法求解．[例2]如图1，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P、Q分别是CC1、C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ.图1[证明]连结CD1、AD1，∵P、Q分别是CC1、C1D

3、1的中点，∴PQ∥CD1，且CD1⊄平面BPQ，∴CD1∥平面BPQ.又∵D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，∴四边形ABQD1是平行四边形，∴AD1∥BQ，且AD1⊄平面BPQ，∴AD1∥平面BPQ.又∵AD1∩CD1＝D1，∴平面ACD1∥平面BPQ，∵AC⊂平面ACD1，∴AC∥平面BPQ.二、垂直关系立体几何中的垂直问题有三类：一是线线垂直，空间两直线垂直有相交垂直和异面垂直两种情形，判断的依据是两直线所成的角是直角，或者由线面垂直推出线线垂直；二是线面垂直，利用线面垂直的定义、判定定理、平面与平面垂直的性质来判

4、定线面垂直；由线面垂直可以得出线线垂直等；三是面面垂直，利用直二面角和面面垂直的判定定理判定两个平面垂直；由面面垂直可以得出线面垂直和线线垂直，垂直关系的转化：[例3]如图2所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB；(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．图2[证明](1)∵在菱形ABCD中，G为A

5、D的中点，∴BG⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.(2)连结PG，如图3，∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，PG⊂平面PGB，BG⊂平面PGB，∴AD⊥平面PGB.∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.图3(3)解：当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.证明：在△PBC中，EF∥PB，又在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，FE∩DE＝E，∴平面DEF∥平面PGB.由(2)

6、推知PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD.∴平面DEF⊥平面ABCD.[点评]直线和平面垂直，平面和平面垂直，既可从直线和平面、平面和平面的交角为90°来论证，又可从已有的线线垂直，线面垂直关系来推理和论证．要注意线线垂直、线面垂直和面面垂直的转化．三、空间角的计算(1)空间角一般指两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角．(2)空间角的一般求法①异面直线所成的角的求法一般有如下两种：a．平移相交法：即根据定义，把异面直线中的一条或两条进行平移，并使其相交，作出异面直线

7、所成的角，然后利用三角形边角关系求角的大小．b．线面垂直法：在有些情况下，可以通过判断一条直线与另一条直线所在的平面垂直，从而得到两异面直线所成的角为直角．②直线与平面所成的角：定义法．③二面角的平面角的求法a．定义法；b.作棱的垂面法．[例4]如图4，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO与A′C′所成角的度数；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．图4图5四、推理证明与计算的综合高考中立体几何的解答题多数是融推理证明与计算为一体，既考查学生的逻辑推理能力，

8、又考查学生的运算求解能力和空间想象能力．[例5]如图6，ABCD是边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，E和F是l上的两个不同点，且EA＝ED，FB＝FC.E′和F′是平面ABCD内的两点，EE′和FF′都与平面ABCD垂直．(1)证明：直线E′F′垂直且平分线段AD；(2)若∠EAD＝∠EAB＝60°，EF＝2，求多面体ABCDEF的体