§2[1].4.2_抛物线的简单几何性质(1)

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1、§2.4.2抛物线的简单几何性质（1）X定义：在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.抛物线的定义及标准方程准线方程焦点坐标标准方程图形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)y2=2px(p>0)x2=-2py(p>0)一、温故知新范围1、由抛物线y2=2px（p>0）有所以抛物线的范围为二、探索新知如何研究抛物线y2=2px（p>0）的几何性质?抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸

2、。对称性2、关于x轴对称即点(x,-y)也在抛物线上,故抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称.则(-y)2=2px若点(x,y)在抛物线上,即满足y2=2px，顶点3、定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。y2=2px(p>0)中，令y=0,则x=0.即：抛物线y2=2px(p>0)的顶点（0，0）.注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。离心率4、P(x,y)抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。由定义知，抛物线y2=2px(p>0)的离心率为e=1.下面请大家得出其余三种标

3、准方程抛物线的几何性质。（二）归纳：抛物线的几何性质图形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R(0,0)x轴y轴1特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P(

4、x,y)P越大,开口越开阔补充（1）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。

5、PF

6、=x0+p/2xOyFP通径的长度：2PP越大,开口越开阔（2）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：（标准方程中2p的几何意义）利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，　　），解:所以设方程为：又因为点M在抛物线上：所以：因此所求抛物线标准方程为：例１：已知抛物线关于

7、x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，　　），求它的标准方程.三、典例精析坐标轴当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免讨论例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。xyO(40,30)解:所在平面内建立直角坐标系,使反射镜的顶点与原点重合,x轴垂直于灯口直径.在探照灯的轴截面设抛物线的标准方程为:y2=2px由条件可得A(40,30),代入方程得:302=

8、2p·40解之:p=故所求抛物线的标准方程为:y2=x,焦点为(,0)练习：1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是.2、已知点A（-2，3）与抛物线的焦点的距离是5，则P=。4例3、斜率为1的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。四、归纳总结抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于１；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线的通径为2P,2p越

9、大，抛物线的张口越大.1、范围：2、对称性：3、顶点：4、离心率：5、通径：再见！1.已知M为抛物线上一动点，F为抛物线的焦点，定点P(3,1),则的最小值为（）(A)3(B)4(C)5(D)6B.M.N.M.P24l例3:图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水下降1米后，水面宽多少？xoAy若在水面上有一宽为2米,高为1.6米的船只，能否安全通过拱桥？思考题2BA（2,－2）x2=－2yB（1，y）y=－0.5B到水面的距离为1.5米不能安全通过y=－3代入得例题3探照灯、汽车前灯的反光曲面，

10、手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理。平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据。