3[1].1.3空间向量的数量积运算

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1、3.1.3空间向量的数量积运算一、复习引入1.共线向量定理：2.共线向量定理的推论：(1)若直线l过点A且与向量平行，则(2)三点P、A、B共线的充要条件有：3.共面向量定理：4.P、A、B、C四点共面充要条件：平面向量数量积的相关知识复习：平面向量的夹角：AOBAB叫做向量a与b的夹角。已知两个非零向量a和b，在平面上取一点O，作OA=a,OB=b,则平面向量的数量积的定义：平面向量的数量积已知两个非零向量a,b，则

2、a

3、

4、b

5、cos叫做向量a,b的数量积，记作即并规定0你能类比平面向量的数量积的有关概念、计算方法和

6、运算律推导出空间向量的数量积的有关概念、计算方法和运算律？一、两个向量的夹角两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是(0°,90°],而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是[0°,180°]二、两个向量的数量积注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量.②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.BB1AA11.数量积的几何意义数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积，不一定为锐角不一定为钝角三、空间两个向量的数量积的性质(1)空

7、间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相同的性质.(2)性质(2)是用来判断两个向量是否垂直，性质(5)是用来求两个向量的夹角．(3)性质(3)是实数与向量之间转化的依据．四、空间向量数量积的运算律与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：向量数量积的运算适合乘法结合律吗?即(a•b)c一定等于a(b·c)吗?注意：数量积不满足结合律即×××√例1已知空间向量a，b满足

8、a

9、=4，

10、b

11、=8，a与b的夹角是150°，计算：(1)(a+2b)·(2a-b)；(2)

12、4a一2b

13、．lαOP例4在平面内的一条直线，如

14、果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。已知：如图，PO,PA分别是平面α的垂线，斜线,AO是PA在平面α内的射影，AlαOPA已知：如图，PO,PA分别是平面α的垂线，斜线,AO是PA在平面α内的射影，a分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析.αnlmgnzmgl例5如图，m,n是平面α内的两条相交直线。如果l⊥m,l⊥n,求证：l⊥αB解：2.已知在平行六面体　　　　　　　中，,,求对角线　　的长。3如图，已知线段　　在平面　内，线段，线段　　　　，线段　　　　

15、，　　　　　，如果　　　　　　　　　　　，求　、　之间的距离。解：由　　　，可知.由　　　　知.在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离．练习4已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB=OC，求证：PM⊥QN．证明：练习5