2.3垂径定理课件

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1、2.3垂径定理怀化三中李青松问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？问题情境如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．你能发现图中有那些相等的线段和弧？·OABCDE题设结论由①CD是直径②CD⊥AB可推得③AE=BE,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，

2、使CD⊥AB，垂足为E．你能发现图中有那些相等的线段和弧？·OABCDE活动二题设结论由①CD是直径②CD⊥AB可推得③AE=BE,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ　和　ＢＣ重合，ＡＤ和　ＢＤ重合．⌒⌒⌒⌒为什么？与同伴说说你的想法和理由.若直径CD垂直弦AB，则平分弦AB，并且平分AB及ACB。⌒⌒·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．注意：(1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。

3、在下列图形（如下图(a)~(d)）中，AB、CD均是⊙O的弦，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论?(a)AB⊥CD于E(b)E是AB中点(c)OC⊥AB于E(d)OE⊥AB于E如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE解：例题示范1——计算答：⊙O的半径为5cm.在Rt△AOE中∵OE⊥ABcm1．如图，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则AB=．·OABE变式（一）思考一：若圆的半径为R，一条弦长为a，圆心到弦的距离为d，则R、

4、a、d三者之间的关系式是。16cm在⊙O中，半径OC⊥AB，垂足为E，若CE=2cm，AB=8cm，则⊙O的半径=。变式（二）5cm赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图），它的跨度（弧所对的弦AB长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即AB所在圆的半径）是多少？思考二：你能解决本课一开始提出的问题吗？解得：R≈27．9（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD

5、2+OD2AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2在图中如图，用ＡＢ表示主桥拱，设ＡＢ所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中点，C是ＡＢ的中点，CD就是拱高．⌒⌒⌒BODACR解决求赵州桥拱半径的问题规律总结：已知条件中含垂直于弦的直径，通常会联系到垂径定理。在求弦长、半径、圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线构造直角三角形，用垂径定理和勾股定理解决。如图，用ＡＢ表示主桥拱，设ＡＢ所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O

6、作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中点，C是ＡＢ的中点，CD就是拱高．⌒⌒⌒已知：⊙O中弦AB∥CD。求证：AC＝BD⌒⌒∵AB∥CD，∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂直弦的直径平分弦所对的弧）∴AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON例题示范2——证明证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等。证明：作直径MN⊥AB这两条弦在圆中位置有两种情况:●OABCD1.两条弦在圆心的同侧●OABCD2.两条弦在圆心的两侧MM圆的两条平行弦的性质:圆

7、的两条平行弦所夹的弧相等.规律总结：与弦有关的问题，过圆心作弦的垂线段，是常见的辅助线作法之一。已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，AB=6cm，CD=8cm，⊙O的半径为5cm，思考三：（1）请根据题意画出符合条件的图形；（2）求出AB与CD间的距离。（1）（2）1．定理的三种基本图形——如图（1）（2）（3）。驶向胜利的彼岸师生小结，纳入系统2．计算中三个量的关系——如图（4）。图（1）图（2）图（3）图（4）3．证明中常用的辅助线——过圆心作弦的垂线段。见《导学案》驶向胜利的彼岸达标检测，反馈效果挖掘潜力某

8、地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ,桥下水面宽度为7.2m，过O作OC⊥AB于D,交圆弧于C,CD=2.4m,现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？CNMAEHFBDO1、必做：P60:习题2.3——1,2,4题；2、选做（一日一题）：驶向胜利的彼岸家做：如图,在下列五个条件中:●OABCDM└①CD是直径